一、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则η=aξ b也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f（x）是连续函数或单调函数，则f（ξ）也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：x₁，x₂，....，xi，...
ξ取每一个值x₁（i=1,2，....）的概率P(ξ=xi)=Pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
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ξ |
x₁ |
x₂ |
... |
xi |
... |
|
P |
P₁ |
P₂ |
... |
Pi |
... |
有性质①P₁≥0,i=1,2,...； ②P₁ P₂ ... Pi ...=1.
注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：ξ∈[0,5]即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.
3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：
[其中k=0,1,...,n,q1-p]
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n·p），其中n，p为参数，并记
⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.
4. 几何分布：“ξ=k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Aκ，事A不发生记为Aκ,P(Aκ)=q，那么P(ξ=κ)=P(A₁A₂...Aκ-1Aκ).根据相互独立事件的概率乘法分式：P(ξ=κ)=P(A₁)P(A₂)..P(Aκ-1)P(Aκ)=q(k-1)次方p(k=1,2,3...)于是得到随机变量ξ的概率分布列.
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ξ |
1 |
2 |
3 |
... |
k |
... |
|
P |
q |
qp |
q²p |
... |
q(k-1)次方p |
... |
我们称ξ服从几何分布，并记g（k，p）=q(k-1)次方p，其中q=1-p.k=1,2,3...
5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1≤n≤N)件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为
.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时
，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕
⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a b），则次品数ξ的分布列为
⑶超几何分布与二项分布的关系.
设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把a b个产品编号，则抽取n次共有（a b）ⁿ个可能结果，等可能：（η=k）含
个结果，故
，即η～B·（n·a/(a b)）.[我们先为k个次品选定位置，共
种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξ=k)≈P(η=k)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.
二、数学期望与方差.
1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
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ξ |
x₁ |
x₂ |
... |
xi |
... |
|
P |
P₁ |
P₂ |
... |
Pi |
... |
则称Eξ=₁p₁ x₂p₂ ... xnpn ...为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2. ⑴随机变量η=aξ b的数学期望：Eη=E(aξ b) =aEξ b
①当a=0时，E(b)=b，即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当a=1时，E(ξ b)=Eξ b，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当b=0时，E(aξ)=aEξ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.
⑵单点分布：Eξ=c*1=c其分布列为：P(ξ=1)=c.
⑶两点分布：Eξ=0*q 1*p=p，其分布列为：（p q = 1）
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ξ |
0 |
1 |
|
p |
q |
p |
⑷二项分布：
其分布列为ζ～B(n,p).（P为发生ζ的概率）
⑸几何分布：Eζ=1/p 其分布列为ζ～q(k,p).（P为发生ζ的概率）
3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为p(ζ=xκ)=pκ(k=1,2,...)时，则称
为ξ的方差. 显然Dζ≥0，故σξ=√Dζ.σζ为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.Dξ越小，稳定性越高，波动越小.
4.方差的性质.
⑴随机变量η=aζ b方差D(η)=D(aζ b)=a²Dζ.（a、b均为常数）
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ξ |
0 |
1 |
|
P |
q |
p |
⑵单点分布：Dζ=0其分布列为P(ζ=1)=p
⑶两点分布：Dζ=pq 其分布列为：（p q = 1）
⑷二项分布：Dζ=npq
⑸几何分布：Dζ=q/p²
5. 期望与方差的关系.
⑴如果Eζ和Eη都存在，则E(ζ±η)=Eζ Eη
⑵设ξ和ζ是互相独立的两个随机变量，则E(ζη)=Eζ*Eη,D(ζ η)=Dζ Dη
⑶期望与方差的转化：Dζ=Eζ² -(Eζ)²
⑷E(ζ-Eζ)=E(ζ)-E(Eζ)（因为Eζ为一常数）=Eζ-Eζ=0.
三、正态分布.（基本不列入考试范围）
1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的概率等于它与x轴.直线x=a与直线x=b所围成的曲边梯形的面积
（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x∈(-∞, ∞)”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.
2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：
(x∈R,μ,σ为常数，且σ>0），称ξ服从参数为μ,σ的正态分布，用ζ～N(μ,σ²)表示.f(x)的表达式可简记为N(μ.σ²)，它的密度曲线简称为正态曲线.
⑵正态分布的期望与方差：若ζ～N(μ,σ²)，则ξ的期望与方差分别为：Eζ=μ,Dζ=σ².
⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方，与x轴不相交.
②曲线关于直线x=μ对称.
③当x=μ时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.
⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为
，则称ξ服从标准正态分布. 即ζ～N(0,1)有φ(x)=P(ζ≤x)，φ(x)=1-φ(-x)求出，而P（a＜ζ≤b）的计算则是P(a≤ζ≤b)=φ(b)-φ(a).
注意：当标准正态分布的Φ(x)的X取0时，有Φ(x)=0.5当Φ的X取大于0的数时，有Φ(x)>0.5.比如Φ(0.5-μ)/σ=0.0793<0.5则(0.5-μ)/σ必然小于0，如图.
⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ζ～N(μ,σ²)则ξ的分布函数通
常用F(x)表示，且有P(ζ≤x)=F(x)=φ[(x-μ)/σ].
4.⑴“3σ”原则.
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：
①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ,σ²).
②确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ-3σ,μ 3σ).
③做出判断：如果a∈(μ-3σ,μ 3σ)，接受统计假设. 如果a∉(μ-3σ,μ 3σ)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.
⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ²)则 ξ落在(μ-3σ,μ 3σ)内的概率为99.7％ 亦即落在(μ-3σ,μ 3σ)之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）