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化归转化思想,化归和转化思想应用解析

时间:2024-06-11 19:00:01 阅读:225 作者:短腿女神


化归转化思想,化归和转化思想应用解析-第1张

提要

化归转化是数学解题的一种极其重要的数学思想,贯穿了数学解题与数学研究的始终。初中数学里,运用化归转化的数学思想处理问题的例子比比皆是。例如,通过去分母把分式方程转化为整式方程求解,通过将把一元二次方程转化为一元一次方程求解,通过消元把三元一次方程组或二元一次方程组转化为一元方程求解,通过换元把复杂的问题转化为简单的问题求解……显然,“转化”揭示了解题的本质。


知识全解

一、化归转化思想的概念

在解答某一个难以入手或希望寻求简捷解法的数学题时,我们的思维就不应停留在原题上,而将原题转化为另一个比较熟悉、比较简易的问题,通过对新问题的解决,达到解决原问题的目的,这就是解答数学题的化归转化思想。

化归转化的实质是把新知识转化为旧知识,把未知转化为已知,把复杂问题转化为简单问题。当我们遇到一个较难解决的问题时,不是直接解原题目,而是将题进行转化,转化为一个已经解决的或比较容易解决的数学题,从而使原题得到解决。

二、解题策略

应用转化思想要注意以下几点:①转化后的问题要比原问题更容易、更简单;②转化后的问题应该是己知数学的问题,这样才有利于应用已有的知识与经验解决问题;③转化是有条件的,如解方程时要防止转化后出现增根或失根等。

在平时的学习中,要善于观察,挖掘数学问题的内在联系,要注意知识间的联系与演变,不断开拓思路,不断收集,积累联想,转换的实例,把新知识与认识结构中已有的知识建立起实质性的联系。只有这样才能合理,快速,准确地进行转化“巧妙”才能显得自然。


经典例题

类型1 高次向低次的转化


化归转化思想,化归和转化思想应用解析-第2张

类型2 多元转化为一元

例2 若x:y:z=1:2:3,且3x 4y-5z=16,则x-3y 2z的值是多少?

【解析】设x=k,则y=2k,z=3k,代入3x 4y-5z=16得3k 8k-15k=16,解得k=4。

从而x= -4,y=-8,z=-12

∴x-3y 2z= -4-3×(-8) 2×(-12)= -4

【点评】解决有关连比的问题时,常见的思路是设其中的一份为k,然后用k替换题目中的未知数,从而把多元问题转化为一元问题获得解答,


类型3特殊与一般的转化

例3 如图(1)所示,正方形OCDE的边长为1,阴影部分的面积记作S1;如图(2)最大圆半径r=1,阴影部分的面积记作S2,则S1___S2(用“>”,“<”或“=”填空)


化归转化思想,化归和转化思想应用解析-第3张

【解析】把图(1)中的阴影部分沿对角线OD对折,则两个阴影拼在一起组成矩形ACDF,因为正方形OCDE的边长为1,所以正方形的对角线长√2、所以OA=√2,S1=S矩形=√2-1;把图(2)中的阴影部分通过旋转即可拼在一起组成1/4圆,故S2=π/4。所有S1<S2。

【点评】本题通过将图形(或部分)进行旋转或翻折,使图形特殊或图形的位置特殊,进而简捷求解.

类型4 分散转化为集中

例4 如图所示,在反比例函数,y=2/x(x>0)的图象上,有点P1、P2、P3、P4,它们的横坐标依次为1、2、3、4,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3,则S1 S2 S3=____


化归转化思想,化归和转化思想应用解析-第4张

【解析】由题意及图象可知,3个阴影长方形的长都为1,设P1(1,y1),P2(2,y2),P3(3,y3),P4(4,y4),代入y=2/x(x>0)可求得y1=2, y2=1,y3=2/3,y4=1/2,所以S1 S2 S3=1×(y1-y4)=1×(2-1/2)=3/2

【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质,把分散的带阴影的几何图形集中起来,问题便迎刃而解了。


真题演练

例1 利用化归转化思想求立体图形表面两点间的最短距离问题

如左图所示,圆柱形容器高18cm.底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时已知蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为____cm


化归转化思想,化归和转化思想应用解析-第5张

【点评】本题考查圆柱的侧面展开图,轴对称以及勾股定理的应用。关键是在长方形上找出蚂蚁行走的路径,通过“化曲面为平面”,据“两点之间线段最短”得出最短路径,然后构造出直角三角形,利用勾股定理进行解决。


例2 利用化归转化思想求圆中阴影部分面积问题

如图所示,菱形ABCD的边长为2,∠A=60度,以点B为圆心的圆与AD,DC相切,与AB、CB的延长线分别相交于点E,F,则图中阴影部分的面积为()

A.√3 π/2 B.√3 π C.√3-π/2 D.2√3 π/2


化归转化思想,化归和转化思想应用解析-第6张


化归转化思想,化归和转化思想应用解析-第7张

【点评】求圆中阴影部分的面积一般都通过转化,将不规则的阴影部分转化为规则图形的面积和(或差).


例3利用化归转化思想解决动态问题

如图1所示,形如量角器的半圆O的半径OE=3cm,形如三角板的△ABC中∠ABC=90度,AB=BC=6cm,△ABC以2cm/s的速度从左向右匀速运动(点B运动到E点时,运动停止),在运动过程中,点A、B始终在直线DE上,设运动时间为t (s),当t=0时,△ABC在半圆O的左侧,BD=1cm。


化归转化思想,化归和转化思想应用解析-第8张

【解析】(1)由题意可得:BO=4cm,t =4/2=2 (s)

(2)如图2所示,设AC切半圆O于点H,连接OH,则OH⊥AC

∵∠A=45度,∴AO=√2OH=3√2(cm)

∴AD=AO-DO=3√2 -3 (cm)

(3)如图3所示,连接EF.

∵OD=OF,∴∠ODF=∠OFD

∵DE为直径,

∴∠ODF ∠DEF=90度,∠DEC=∠DEF ∠CEF=90度

∴∠CEF=∠ODF=∠OFD=∠CFG

又∵∠ FCG=∠ECF,

∴△CFG∽△CEF,∴CF/CG=CE/CF


化归转化思想,化归和转化思想应用解析-第9张

【点评】解决动态问题的一般思路是“动静转化---动中取静,以静制动”。


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