高等数学易混概念（高等数学常用的等价无穷小）

有限多个无穷小量之和是无穷小量，这个性质不能推广到无限多个．将无限多个无穷小量累加起来，就可能根本改变它们原有的特性．

显然Xni → 0(n→∞)． 当 i =1,2,……时，就得到无限多个无穷小量Xn1,Xn2,......, 但是这无限多个无穷小量的和

因此，这无限多个无穷小量之和是一个收敛于１的数列．

由于Xni → 0(n→∞)．当 i = 1,2,……时，就得到无限多个无穷小量．但是这无限多个无穷小量的和 Sn 是正无穷大，即

这是因为上面的级数只不过是将调和级数删去前几项．

由于Xni → 0(n→∞)．当i=1,2,……时，就得到无限多个无穷小量．而这无限多个无穷小量之积

因此这无限多个无穷小量的积是一个收敛于e的数列．

当i=1,2,……时，同样得到无限多个无穷小量，这时

即无限多个无穷小量的积是一个发散的数列．

有限个无穷小量的积是无穷小量，这性质同样不能推广到无限多个无穷小量的乘积上去．这是因为每个无穷小量只是在变化的某个时刻后才任意小，而在这时刻之前变量可以有较大的值．如果在构造这无穷多个无穷小量时，让其进入任意小的时刻构成一个趋于无穷大的序列，同时，适当选取这时刻前变量的值，这样，对应每一个子n，只有有限多个无穷小量在这个时刻已进入任意小，而有无限多个无穷小量仍处在可以取较大值的阶段（这种特性是有限多个无穷小量的乘积所没有的），于是就可能出现性质上的变异．

这两个数列都是发散．但是

即它们的积是无穷小量．

请点赞，鼓励一下！