矩阵与向量乘法的规则如图一所示，矩阵在左边，向量在右边，矩阵的列数等于向量的行数。
图一
这是一个2X2的矩阵和2X1的向量相乘，结果是一个2X1的向量（也可以说2X1的矩阵）。计算规则是：矩阵第一行和向量对应元素乘积再求和（向量的内积）得到的结果，作为结果向量的第一个元素，矩阵第二行和向量对应元素乘积再求和得到的结果，作为结果向量的第二个元素，为了让大家看清楚这个过程，图上用了不同的颜色标注表示。很明显，这个计算规则是非常不友好的，难以记住。我们要讨论的不是这个计算规则，而是要告诉大家，为什么要这样定义这个计算规则？或者说这种定义为什么是合理的？
既然提到了向量内积，就补充说点题外话，向量内积也称为点积，结果是一个数。向量内积可以用来表示两个向量的夹角或投影，大家不要小瞧这个，向量夹角可以用来度量两个向量的之间的相似程度，可以用于各种分类的实际应用，比如新闻分类，文本分类等等，关于这个话题，我后面专门说一下。可能小伙伴要问，那既然说到向量内积，是不是还有向量外积，确实有，也称为向量叉积，用aXb表示。
图二
回到正题，我们讨论的是矩阵和向量乘法的本质，但是篇幅有点长，我们用三个短篇来讲，欢迎大家继续关注下一篇。