一.基本概念
定义：随着测试结果的变化而变化的变量称为随机变量。随机变量通常用字母X、Y、…。
定义：所有其值可以一一列出的随机变量称为离散随机变量。
3.定义：对于随机变量的可能值，可以取某一范围内的所有值。这样的变量称为连续随机变量。如果一个林场的树的最大高度是30米，那么这个林场的树的高度就是一个随机变量，可以取(0，30)以内的任意值。
if
是一个随机变量，
是常数，也是随机变量，不改变其属性(离散和连续)。
二、离散随机变量的分布列表
1.分布列表：设离散随机变量x的可能值为x1，x2，xi，
x取每个值Xi的概率(I=1，2，)as
，列表
是随机变量x的概率分布，简称x的分布列表。
2.分布列表的两个性质：满足任意随机事件的概率：
，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1。可以得出结论，离散随机变量的分布列表具有以下两个性质：
(1)Pi0，i=1，2，…；
(2)P1P2…=1。
对于离散型随机变量，取某一区间值的概率等于取该区间值的概率之和，即。
3.两点钟分发名单：
像上面这样的分发列表叫做两点分发列表。分发名单的两点被广泛使用，比如彩票是否中奖；回购的产品是否是正品；伤心鸡宝宝的性别；一发命中与否可以用两点分布表来研究。如果随机变量X的分布列表是两点分布列表，则表示X服从两点分布，称为
=P (X=1)是成功的概率。
4.超几何分布列表：一般来说，在含有M个缺陷产品的N个产品中，取任意N个产品，其中只有X个缺陷产品，那么事件{x=k}的概率为
,
其中
，和。称为通讯组列表。
这是一个超几何分布列表。如果随机变量X的分布列表是超几何分布列表，则称随机变量X服从超几何分布。
三，随机变量的概念和意义的应用
1.写下下列随机变量的可能值，并用随机变量的值说明随机测试的结果。
(1)一个袋子包含五个相同大小的白色球，编号为1、2、3、4和5。现在从袋子里随机取出三个球，取出的球数最多为X；
(2)某个单位的电话在单位时间内收到的呼叫数。
解：(1)X可以是3，4，5。
X=3，表示取出的三个球的个数是1、2、3；
X=4，表示取出的三个球的个数是1、2、4或1、3、4或2、3、4；
X=5，表示取出的三个球的个数是1、2、5或1、3、5或1、4、5或2、3、5或2、4、5或3、4、5。
(2)可以是0，1，…，n，…。
=i，意思是叫做I次，其中I=0，1，2，
四.离散随机变量分布表的简单应用
2.从100个包含5个缺陷产品的产品中选择3个，并尝试：
(1)获得的缺陷产品数量x的分布列表；
(2)得到至少一个次品的概率。
分析：分发列表的问题解决步骤如下：
(1)首先，确定变量xi的值。
(2)结合概率的知识来表示每个值的概率P(=xi)=Pi，这一步是关键。
(3)列出表格的形式，验证概率和是否为1。
首先分析缺陷产品数量为0、1、2、3的情况有4种，然后转化为每种情况下概率的计算问题。结合组合数的公式，可以准确地表示概率值，然后将其列为表格。
解决方案：(1)由于100个产品中有3个产品的结果是
/origin/pgc-image/RzGLFwbI9kGt1d?from=pc">，从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果数为所以随机变量X的分布列是
（2）根据随机变量X 的分布列，可得至少取到1件次品的概率
P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 )
≈0.13806 + 0.00588 + 0.00006
= 0. 14400。
例3、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半。现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X的分布列。
分析：欲写出X的分布列，要先求出X的所有取值，以及X取每一个值时的概率．在写出X的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1。
解：设黄球的个数为n，由题意知
绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总球数为7n．
∴
，
，
．
所以从该盒中随机取出一球所得分数X的分布列为
例4、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．
分析：理解超几何分布列的概念，并能结合分布列中n=k的公式来计算各个概率值。
首先分析题意，我们得到摸出红球的个数服从超几何分布，然后结合公式
进行计算。
解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中 N = 30 , M=10, n=5．于是中奖的概率
P (X≥3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 ）+P ( X = 5 )
=
≈0.191。
例5、某射手射击所得的环数X的分布列如下：
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
分析：研究离散型随机变量在某范围内的概率，就是把该范围内各个概率值求和。“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“X＝7”、“X＝8”、“X＝9”、“X＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
解：根据射手射击所得的环数X的分布列，有
P(X=7)＝0.09，P(X=8)＝0.28，P(X=9)＝0.29，P(X=10)＝0.22。
所求的概率为P(X≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88
例6、在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：不放回抽样时，抽到次品数的分布列。
分析：求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率。随机变量可以取0，1，2，可以取0，1，2，3，有放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析。
解：
，
，
，
所以的分布列为