假设集合A={a，b}，集合b={ 0，1，2}，则两个集合的笛卡儿积为{{a，0}，a，1}，a，2}，b，0}，b，1}，b，2 }。 如果可以扩展到多个集合。 一个相似的例子是，如果a表示一所学校的学生集合，b表示该学校所有课程的集合，则a和b的笛卡儿积表示所有可能的选择情况。 [编辑本段]笛卡儿积的运算性质，因为决定了秩序对中x，y的位置，也决定了AB的表示法，不能写为BA。
笛卡儿积也可以由多个集合合成，A1A2…An。
笛卡儿积的运算性质.一般不能交换。
将笛卡儿积、集合a、b合成为集合AB并规定
ab={Xayb}
之所以能够在任意集合a上定义笛卡儿积，是为了对任意两个集合a和b构成以a中的元素为第一元素、以b中的元素为第二元素的有序对。 由这样的秩序对构成的所有集合都是集合a和b的笛卡儿积。 集合A=B时，笛卡儿积记为aa。 [编辑本段]导出过程中给出的域D1、D2、…、Dn，这些域中D1、D2、…、Dn的笛卡尔乘积为：
D1d2…dn={(D1，D2，…，dn ) dii=1，2，…，n}
所有域的所有值组合都不能重复
示例显示了三个域。
D1=SUPERVISOR={ kldbm，刘逸}
D2=SPECIALITY={计算机专业、信息专业}
D3=POSTGRADUATE={sxdmy，xldkf，wwdxy}
于是，D1、D2、D3的笛卡儿积为d。
D=D1D2D3=
{(kldbm，计算机专业，sxdmy )，(KLDBM，计算机专业，xldkf )，
(kldbm、计算机专业、wwdxy )、) kldbm、信息专业、sxdmy )、
(kldbm、信息专业、xldkf )、) kldbm、信息专业、wwdxy )、
(刘逸，计算机专业，sxdmy )，)刘逸，计算机专业，xldkf )、
(刘逸，计算机专业，wwdxy )，)刘逸，信息专业，sxdmy )、
(刘逸，信息专业，xldkf )，)刘逸，信息专业，wwdxy ) }
这样，将D1、D2、D3这3个集合各自的要素相对应地进行组合，形成巨大的集合群。
本例中的d有2X2X3个元素。 一个集合有1000个元素，如果有这样的3个集合，他们的笛卡儿积产生的新集合就是10亿个元素。 如果某个集合是无限集合，则新集合具有无限个要素。 [本段的编辑]序偶和笛卡儿积在日常生活中，很多东西是成对出现的，而且这成对出现的，有一定的顺序。 例如，上、下左、右； 3〈4； 神勇的白猫比kwddy高； 中国位于亚洲； 平面上的点的坐标等。 通常，具有两个固定顺序的对象构成一个序号，其通常表示两个对象之间的关系。 记为〈x，y〉。 上述各例可以分别表示为<上、下>； 〈左、右〉； 〈3、4〉； “神勇的白猫，kwddy〉”； 〈中国、亚洲〉； 〈a，b〉等。
序号可以看作是具有两个要素的集合。 但是，与一般的集合不同，顺序是固定的。 在集合中，{a，b}={b，a}，但相对于序号为〈a，b〉〈b，a〉。
以x，y为任意对象，集合{{x}，{x，y}}称为二元有序组或序数(ordered pairs )，简单记为。 将x称为其他第一成分，将y称为第二成分。
定义3-4.1对于任意序号，
递归定义n元顺序组
={{a1}，{a1，A2}
={ {a1，a2}，{a1，a2，A3}
=，a3
=，an
两个n元序组相等
a1，…an=b1，…bn(a1=B1 ((() ) an=bn () ) ) ) )。
定义3-4.2对于任意集合A1、A2、…、An，
) A1A2被称为集合A1、A2的笛卡儿乘积，其定义如下
a1a2={ x|$ u $ v (x=ua1va2 (}={|ua1va2 } )
)2)递归定义A1 A2 … An
a1a2…an=(a1a2…an-1 ) an
例题A={，}，b={ 1，2，3 }时，求出AB、AA、BB以及(AB ) ) ba )。
AB={〈，1〉、〈，2〉、〈，3〉、〈，1〉、〈，2〉、
BA={〈1，〉、〈1，〉、〈2，〉、〈2，〉、〈3，〉、〈3，〉}
AA={〈，〉，〈，〉，〈，〉，〈，〉}
bb={〈1，1〉、〈1，2〉、〈1，3〉、〈2，1〉、〈2，2〉、〈2，3，3〉、〈3，2〉、〈3，2〉、〈3，3，3
(AB ) ) ba )=
从例题1可以看出，(AB ) ba
如果a=或b=，我们保证AB=。
自由
笛卡尔定义可知：(A×B)×C={〈〈a，b〉，c〉|(〈a，b〉∈A×B)∧(c∈C)}
={〈a，b，c〉|(a∈A)∧(b∈B)∧(c∈C)}
A×(B×C)={〈a，〈b，c〉〉|(a∈A)∧(〈b，c〉∈B×C)}
由于〈a，〈b，c〉〉不是三元组，所以
(A×B)×C ≠A×(B×C)
定理3-4.1 设A, B, C为任意集合，*表示 È，Ç或 – 运算，那么有如下结论：
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即：
A×(B*C)＝(A×B)*(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即：
(B*C) ×A＝(B×A)*(C×A)
¤ 当*表示 È时，结论(1)的证明思路:(讨论叙述法)
先证明A×(B È C)Í(A×B) È (A×C) 从∈A×(BÈC)出发，推出∈(A ×B) È (A×C)
再证明(A×B) È (A×C) Í A×(B È C)
从∈(A×B) È (A×C)出发，推出∈A×(BÈC)
当*表示 È时，结论(2)的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。¤
定理3-4.2 设A, B, C为任意集合，若C ≠ F，那么有如下结论：
AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤
定理前半部分证明思路 :(谓词演算法)
先证明AÍB Þ (A×CÍB×C)
以AÍB 为条件，从∈A×C出发，推出∈B×C
得出(A×CÍB×C)结论。
再证明(A×C ÍB×C) Þ AÍB
以C≠F为条件，从x∈A出发，对于y∈C，利用Þ附加式，推出x∈B
得出(AÍB)结论。 见P-103页。 ¤
定理3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合，那么有如下结论：
A×B Í C×D的充分必要条件是AÍ C，BÍ D
¤证明思路:(谓词演算法)
先证明充分性： A×B Í C×D Þ AÍ C，BÍ D
对于任意的x∈A、y∈B，从∈A×B出发，利用条件A×BÍ C×D， ∈C×D，推出x∈C， y∈D。
再证明必要性： AÍ C，BÍ D ÞA×BÍ C×D
对于任意的x∈A、y∈B，从∈A×B出发，推出∈C×D。
笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对(x，y)，把这样的有序对作为新的元素，他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积，记为A×B，即A×B={(x，y)|x∈A且y∈B}。