目录(文章目录)前言1傅立叶变换的缺陷2短时傅立叶变换(窗式傅立叶变换) 3小波部分4增补部分增补
前言
最近，需要对处理后的数据进行时频分析，因此增加了相关知识。 光学习是没有用的，所以总结了自己的学习经验，写了这个帖子，方便了大家学习。
什么真理怕用尽，有一寸进一寸出的快乐wndxh
通过学习和使用来促进学习。
1傅立叶变换的缺陷写下这个，然后添加傅立叶分析。
FT对稳定信号的分析和处理作出巨大贡献的原因是，人们可以利用它将复杂的时间和空间信号转换到频域，然后使用相对简单的频谱特性分析和发现原信号的动态特性。
在FT正变换中，从时间(空间)信号提取信号的频谱信息f(w ) f(w ) f(w ) w )是利用整个时域中的所有信息在单个确定频率的频谱值)频域函数f(w ) f(w )中的任何一个频率w0w _ w _ w ) 可以看出，由于所获得的频域函数对应于整个时间轴，因此傅立叶变换对频谱的描述是“全局的”，不反映时间维度在局部区域上的特征。 从傅立叶变换可以清楚地知道信号整体中包含的每个频率的分量值，但难以知道与频域分量对应的不同的时间信号的持续时间和发送的持续时间，如果时间信息不足，则对傅立叶解析的更精密的分析没有用。
伊利诺伊大学的教授说。 “如果你记录一个小时的信息，在最后五分钟出错，这个错误会毁掉整个傅立叶变换。 相位错误是毁灭性的，如果你在相位上犯了哪怕一个错误，你就会发现你最后做的和第一个信号无关。 ”1
t=0:01:5；
x=sin(2pit )；
插图，打印(t ) )。
y=FFT(x ) 1:101 )；
插图，stem(ABS(y ) 1:50 ) )
光谱图很漂亮
但是
x2=[x(1:50] )，x65:50 )； y2=FFT(x2； 插图，stem(ABS(y2 ) 1:50 ) )
这个频谱很杂乱，但实际上这两个信号的主频应该相同。 只是相位在跳跃。 因此，相位很重要。
2短时傅立叶变换(窗式傅立叶变换)基本思想：局部平滑-把长的非平稳随机过程看作一系列短时随机平稳信号的叠加，短时性可以通过在时间上加窗函数来实现(即截取一部分源数据)。 据说在该方法中，至少不管发现了什么频率成分，它都一定发生在信号被剪切的特定时间段。
具体而言，在傅立叶变换中，通过使用时间窗函数g(tu ) g ) t-u (g ) tu )与源极信号g(tu ) f ) t )相乘
u u u附近的加窗口和平移，然后进行傅立叶变换。在线性空间有一个可测的、平方可积的函数$f(t) in L^2® $,对其进行短时傅立叶变换：G f ( ϵ , u ) = ∫ f ( t ) g ( t − u ) e j ϵ t d t G_f(epsilon,u)=int f(t)g(t-u)e^{jepsilon t}dt Gf(ϵ,u)=∫f(t)g(t−u)ejϵtdt
窗口傅立叶变换的逆变换式：
f ( t ) = 1 2 π A ∫ ∫ G f ( ω , u ) e − j ω t g ( t − u ) d ω d u f(t)=frac{1}{2pi A}int int G_f(omega,u)e^{-jomega t }g(t-u)domega du f(t)=2πA1∫∫Gf(ω,u)e−jωtg(t−u)dωdu
由短时傅立叶变换对函数（信号）进行的分析，相当于用一个形状、大小和放大倍数相同的“放大镜”在时－频域平面上移动去观察某固定长度时间内的频率特性。这里的问题是：尽管窗式傅立叶变换能解决变换函数的时域局域化问题，但是，其窗口的大小和形状是固定的，即窗口没有自适应性。这意味着什么？不能针对具体的问题进行优化。
而实际问题中，则各个要求“私人定制”，对于信息集中在高频的信号，由于波形相对较窄，时间间隔要小，采样频率要高，以求给出比较好的精度，进而更好地确定峰值，或者说需要用窄的时域窗来反映信息的高频成分；而对于低频谱信息，由于波形相对是宽的，时间段要相对的长才能给出完整的信号信息，或者说必须用较宽的时域窗来反映信息的低频成分。如果用固定的短时傅里叶变换，你选择一扇宽窗子，低频成分可以看得清楚，在高频部分确定时间时就很糟糕；若你选一扇窄窗子，在高频可以很好确定时间，但在低频的频率就可能装不进去。
这样，真正合适的做法是“放大镜”的长宽是可以变化的，正是为了实现这样的目的，人们引进了小波变换
4补充部分短时傅里叶变换是最常用的一种时频分析方法，它通过时间窗内的一段信号来表示某一时刻的信号特征。在短时傅里叶变换过程中，窗的长度决定频谱图的时间分辨率和频率分辨率，窗长越长，截取的信号越长，信号越长，傅里叶变换后频率分辨率越高，时间分辨率越差；相反，窗长越短，截取的信号就越短，频率分辨率越差，时间分辨率越好，也就是说短时傅里叶变换中，时间分辨率和频率分辨率之间两者不可兼得，必须根据具体需求进行取舍。
简单来说，短时傅里叶变换就是先把一个函数和窗函数进行相乘，然后再进行一维的傅里叶变换。并通过窗函数的滑动得到一系列的频谱函数，将这些结果依次开便得到一个二维的时频图。
短时傅里叶变换的公式为
S T F T z = ∫ − ∞ + ∞ [ z ( u ) g ( u − t ) ] e − j 2 π f u d u STFT_z=int_{-infty} ^{+infty} [z(u)g(u-t)]e^{-j2pi fu}du STFTz=∫−∞+∞[z(u)g(u−t)]e−j2πfudu
其中Z(u)为源信号，g(u-t )为窗函数。
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参考：
小波与短时
spectrogram函数
短时傅里叶变换
发言稿
这话该如何理解呢？
举个显示的例子，对于一个信号，
`b ↩︎