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欧拉公式将指数函数定义域扩展到复数域，建立了三角函数与指数函数的关系，被称为“数学天桥”。 形式简单，结果惊人，欧拉自己把这个公式刻在皇家科学院的门上，似乎要仔细推敲。
1 复数
在进入欧拉公式之前，先看看重要的复数概念。
1.1的由来
这就是的定义。 虚数的出现，进一步扩展了实数系统，扩展到了复平面。 实轴已经填满自然数、整数、有理数、无理数，虚数要二维求空间。
但是，这是最不可接受的次数系扩展，一听到名字就觉得“空虚”。
从自然数扩展到整数：能够应对“借款、减少”的负数增加
从整数扩展到有理数：分数增加，可以支持“分割，部分”
从有理数到实数的扩展：增加的无理数可以对应于“单位正方形对角线的长度()”
从实数到复数的扩展：增加的虚数对应什么？
虚数似乎只是将卡方运算封闭在整个复数域中(也就是说，在复数卡方运算之后得到的还是复数)。
看起来我们不需要在意到底有多相等。 我们可以决定没有意义。 完全一样。
看看一元二次方程的万能式。 其根可以表示为： 那个判别式。
:有两个不同的实数根
:有两个相等的实数根
:既然有两个不同的复数根，其实规定为没有意义就好了，为什么要无视这些呢？
再看看吧。 一元三次方程。 一元三次方程的解太复杂了，不能写在这里。 请参考维基百科。 我希望大家都能打开。
让我们讨论一下。 此时，一元三次方程式的根可以表示为：
其中。
判别式注意观察解的形式包含在根式中。
有一个实数根和两个复数根
:实数根有三个，当、根为0，当、三个根中有两个相等
:有三个不同的果实根！ 无知。 如何用复数求实根？
要解三次方程的根，不能绕过复数吗？ 之后，发现判别式为负时可以通过三角函数计算得到实根，但当时不知道，所以开始思考什么是复数。
我认为可以有虚数，但虚数用实力磨炼了存在感。 虚数确实没有现实的对应物，只是形式上的定义，但必不可少。 数学界逐渐接受多重存在，成为重要的分支。
1.2 复平面上的单位圆
在复平面上画单位圆。 单位圆上的点可以用三角函数表示。
玩单位圆吧：
1.3 复平面上乘法的几何意义
同样的感受：
2 欧拉公式
是的，有。
---维基百科
欧拉公式在形式上很简单，是怎么发现的呢？
2.1 欧拉公式与任性的菠萝公式
欧拉最初通过任性的菠萝公式观察欧拉公式：
代入后得到：
欧拉公式怎么能直观地理解呢？
2.2 对同一个点不同的描述方式
可以将单位圆上的点视为由单位圆的圆运动描述，将单位圆上的点视为由复平面的坐标描述。 因为是相同点的不同记述方法，所以有。
2.3 为什么是圆周运动？
定义如下：
---维基百科
这是实数域下的定义，可以推广到复数域。 根据前面的复数乘法的记述，乘法进行伸缩和旋转运动，伸缩和旋转的幅度根据可能的值而不同。
让我们看看如何在圆周上做一个弧度的圆周运动：
可以从图中挤出时，在单位圆上旋转了1弧度。
看看吧。 这应该是在单位圆上转弧。
确实被认为是单位圆周上的圆周运动。
让我们看看它是如何工作的：
2.4的几何含义是什么？
我不知道有什么几何意义，做点变换吧。 几何意义很明显，它沿着圆运动呈弧形。
2.5 欧拉公式与三角函数
根据欧拉公式，很容易上市：
和。 三角函数的定义域扩大到了复数域。
假设复数是一个向量。 复数的实部是方向，虚部是
方向，很容易观察出其几何意义。2.6 欧拉恒等式
当 的时候，代入欧拉公式：
。
就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式， 、 、 、乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。
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