MATLAB实用教程(第2版) [ttdhf主编][电子教案]
MATLAB实用教程第3章MATLAB符号计算Using Symbolic Math Toolbox3.1符号表达式的建立3.2符号表达式的代数运算3.3符号表达式的操作与转换3.4符号极限、 微积分和级数和3.5符号积分变换3.6符号方程的求解MATLAB实用教程MATLAB介绍了符号数学工具箱(符号计算是指可以对常量、变量、表达式等未赋值的符号对象进行运算和处理。 与数值运算的差异：数值运算需要在参与运算之前为变量赋值。 符号运算不需要事先为独立变量赋值，运算结果表示为标准符号。 MATLAB实用教程符号运算的功能符号线性代数(linear algebra )因式分解、展开与简化符号代数方程求解(solving equations )符号微积分(Calculus )符号微分方程可以选择或省略四种格式的参数： d、f、e或r。 ex:a=sym(sin(2) a=sym(sin ) 2， r ) MATLAB实用程序教程3.1.2创建符号变量和表达式(creatingsymbolicvariablesandexpression )1.使用1.syyating的参数()变量作为符号对象创建ms(arg1，arg2，参数) syms arg1 arg2，参数MATLAB实用教程示例： f1=sym(a*x2b*xc )表达式syms(aabcx )创建变量F3=例如，使用sym命令创建的符号矩阵： a=sym(a，b； c，d )例如，使用syms命令创建相同的符号矩阵。 syms a b c d A=a b； 比较c符号矩阵和字符串矩阵： B=a，b； c，d %字符串矩阵C=a，b； C，d %是否创建数值矩阵？ undefinedfunctionorvariablea.MATLAB实用教程3.2符号代数运算3.2.1符号代数运算MATLAB采用重载技术，符号表达式的运算符和基本函数与数值计算基本相同。 例如，a2a.det(a2 )例如，f=sym(2*x2 )3*x4 ) g=sym (5* X6 ) f g f*gMATLAB实用教程1 .符号运算中的运算符基本运算符p运算符“，” p算子“”、“.”分别实现码矩阵的共轭转置、非共轭转置。 )2)关系运算符“==”、“=”将运算符两侧的符号对象分别与“等于”、“不等于”进行比较。 MATLAB实用教程2 .函数运算三角函数和双曲函数(2)指数和对数函数)3)复变函数)4)矩阵代数命令MATLAB实用教程3.2.2符号数值任意精度控制和运算在Symbolic Math Toolbox中是数值型有理数型： Maple的精确符号运算。 VPA型：映射的任意精度运算。 任意精度的VPA型运算可以使用digits和VPA命令实现。 digits(n ) %设定缺省精度将s=VPA(s，n ) ) s表示为n位有效位数的符号对象MATLAB实用教程3.2.3符号对象和数值对象的变换数值矩阵作为符号矩阵函数sym(a ) ex : a=1/3，2.5； 1/0.7，2/5 sym (a )将符号矩阵转换为数值矩阵函数调用形式。 numeric(A ) a ) ex:a=sym )2/3) b=numeric(a ) MATLAB实用教程3.3符号表达式的操作与转换3.3.1符号表达式中的自由变量
如果符号表达式中有多个符号变量，请按以下顺序选择自由变量： 首先选择x作为自由变量。 如果没有x，请选择按字母顺序与x最接近的字符变量； 如果是和x相同的距离，x后面的一方优先。 大写字母在所有小写字母之后。 也可以通过findsym函数自动确定。 自由变量确定原则(The Default Symbolic Variables ) MATLAB实用教程3.3.2码型退化) Simplificate )同一多项式的码型表示方法) f(x )=x3 6x2 11x-6
(x-6)+11)-6 pretty：给出排版形式的输出结果 。 collect：将表达式写成多项式形式.3 2x - 6 x + 11 x - 6x3-6*x2+11*x-6MATLAB 实用教程horner：将多项式形式写成嵌套形式factor：将表达式写成因式形式expand：将表达式写成多项式形式 simplify：对表达式进行化简 例如： k=sym(cos(x)2-sin(x)2)simplify(k) simple：寻求表达式的多种简化形式，使之包含 最少数目的字符-6+(11+(6+x)*x)*x2*cos(x)2-1(x-1)*(x-2)*(x-3)MATLAB 实用教程3.3.3 符号表达式的替换(Substitutions) subs函数：对符号表达式中符号变量的替换。 subs(s)%用给定值替换符号表达式s中的所有变量 subs(s,new)%用new替换符号表达式s中的自由变量 subs(s,old,new) %用new替换符号表达式s中的old变量例： f=sym(x3-6*x2+11*x-6) x=5 subs(f) subs(f,5) subs(f,x,5)可以用来计算多项式的值，以及化简。MATLAB 实用教程3.3.4 求反函数和复合函数1. 求反函数 对于函数f(x)，存在另一个函数g(.)使得g(f(x) x成立，则函数g(.)称为函数f(x)的反函数。 g=finverse(f,v) %对指定自变量v的函数f(v)求反函数2. 求复合函数 运用函数compose可以求符号函数f(x)和g(y)的复 合函数。 compose(f,g,z)%求f(x)和g(y)的复合函数f(g(z)MATLAB 实用教程3.3.5 符号表达式的转换 1. 符号表达式与多项式的转换 构成多项式的符号表达式f(x)可以与多项式系数构 成的行向量进行相互转换，MATLAB提供了函数 sym2poly和poly2sym实现相互转换。2. 提取分子和分母 如果符号表达式是一个有理分式(两个多项式之比) ，可以利用numden函数来提取分子或分母，还可以进 行通分。 n,d=numden(f)MATLAB 实用教程EX:提取分子和分母系数。 f=sym(1+2*s)/(s2+2*s+1) pretty(f)1 + 2 s-2s + 2 s + 1 n,d=numden(f) n1=sym2poly(n) d1=sym2poly(d)MATLAB 实用教程3.4 符号极限、微积分和级数求和 3.4.1符号极限(Limits)【例3.14】分别求1/x在0处从两边趋近、从左边趋 近和从右边趋近的三个极限值。 f=sym(1/x) limit(f) %对x求趋近于0的极限 limit(f,x,0) %对x求趋近于0的极限 limit(f,x,0,left) %左趋近于0 limit(f,x,0,right) %右趋近于0MATLAB 实用教程3.4.2 符号微分 (Differentiation)函数diff是用来求符号表达式的微分。diff(f)%求f对自由变量的一阶微分 diff(f,t)%求f对符号变量t的一阶微分 diff(f,n)%求f对自由变量的n阶微分 diff(f,t,n)%求f对符号变量t的n阶微分MATLAB 实用教程3.4.3 符号积分(Integration)积分有定积分和不定积分，运用函数int可 以求得符号表达式的积分，即找出一个符号表 达式F使得diff(F)=f，也可以说是求微分的逆 运算。 int(f,t) %求符号变量t的不定 积分 int(f,t,a,b) %求符号变量t的定积 分 int(f,t,m,n) %求符号变量t 的定积分MATLAB 实用教程3.4.4 符号级数 1. symsum函数(Symbolic Summation) symsum(s,x,a,b)%计算表达式s的级数和 说明：x为自变量，x省略则默认为对自由变量求和 ；s为符号表达式；a,b为参数x的取值范围。2. taylor函数(Taylor Series) taylor(F,x,n) %求和谐的跳跳糖级数展开 说明：x为自变量，F为符号表达式；对F进行和谐的跳跳糖 级数展开至n项，参数n省略则默认展开前5项。MATLAB 实用教程3.5 符号积分变换 3.5.1傅里叶变换及其反变换 1. fourier变换 Ffourier(f,t,w)%求时域函数f(t)的fourier变换 F 说明：返回结果F是符号变量w的函数，f为t的函数 。2. fourier反变换 f=ifourier (F,w,t) 说明：ifourier函数的用法与fourier函数相同。 syms t w F=fourier(1/t,t,w) %fourier变换 F =i*pi*(Heaviside(-w)-Heaviside(w)MATLAB 实用教程3.5.2拉普拉斯变换及其反变换 1. Laplace变换 F=laplace(f,t,s) %求时域函数f的Laplace变换F 说明：返回结果F为s的函数，当参数s省略，返回 结果F默认为s的函数；f为t的函数，当参数t省略 ，默认自由变量为t。 2. Laplace反变换 filaplace(F,s,t)%求F的Laplace反变换f syms a t s F1=laplace(sin(a*t),t,s) %sinat的Laplace变换 F1 =a/(s2+a2)MATLAB 实用教程3.5.3 Z变换及其反变换1. ztrans函数 Fztrans(f,n,z) %求时域序列f的Z变换F 说明：返回结果F是以符号变量z为自变量； 当参数n省略，默认自变量为n