08-1叉积基本介绍
【熟肉】线性代数的本质- 08第一部分-叉积的标准介绍_哔哩哔哩(-) ((((() )干杯(~-bilibili www.bilibili.com叉积也可以从线性变换的角度深入理解。 在那之前请讨论一下叉积的基本知识。 二维空间的两个向量v和w，外积v x w等于它们包围的平行四边形的面积。 请注意，此叉积计算有正负，表示方向性。 可以根据基矢量I和j的相对位置关系记忆，i x j=1。
平行四边形的面积可以用行列式计算。 行列式表示由向量I和j构成的单位面积，表示线性变换后的缩放倍率，所以两个向量v和w的坐标被设定为行列式的列，计算行列式后可以得到这两个向量包围的平行四边形的面积。
外积计算有几个性质。 两个向量的长度不变，相互垂直时构成的平行四边形的面积最大。 如果将一个向量放大3倍，得到的平行四边形的面积也同样变为3倍。
虽然前述是为了描述外积而制作的基本概念，但实际的外积的定义是根据2个三维向量v和w来生成新的三维向量p。 的长度是由2个矢量v和w构成的平行四边形的面积，其方向垂直于平行四边形的面，由右手定则决定。
例如矢量
，矢量时，根据右手定律，其外积指向x轴的负方向，得到。 交叉乘积公式：
但是这个公式比用行列式的方法记忆要好。
需要注意的是，这里将向量作为矩阵的列来写，但在教科书中多作为向量的行来写。 矩阵的转置不改变行列式的值，所以不影响结果。 写文章主要是为了更直观。
08-2线性变换视角下看外积
【熟肉】线性代数的本质- 08第二部分-线性变换视角下的叉积_哔哩哔哩(-) ((((干杯)~-bilibili www.bilibili.com叉积有其公式，以及许多可以通过计算验证的性质
但是，为了加深概念，我试图从几何学的侧面理解它。
多维空间通过线性变换成为一维空间时。 该变换对应于沿一维空间方向的唯一向量。 即，实施此线性变换等价于与此向量点相乘。 这个向量被称为这个线性变换的对偶向量。
现在是根据向量v和w定义三维到一维的线性变换，并将该变换与三维空间中的对偶向量相关联。 这个对偶向量是向量v和w的外积。 理解了这个线性变换，就可以理解外积计算的几何意义。
根据二维空间中的外积计算导出，三维空间中应该有3个向量u、v、w。 然后，这些叉积的值是三个向量坐标的行列式。 在几何学上，这个行列式给出了三个向量狂野冬日平行六面体的体积。
这个想法已经接近真实的叉积。 如果将最初向量u看作可变向量。 有从三维空间到轴的函数： 输入向量
从矩阵公式中获得数值。 这个函数的含义是根据任意向量确定由v和w确定的长方体的有向体积。 该函数是线性函数，可以从行列式的性质得到证明。 关于线性的函数，可以通过矩阵乘法来描述这个函数。 因为这是从三维空间到一维空间的变换，所以存在表示该变换的13矩阵。 从对偶性的角度来看，要寻找的是特殊的对偶向量p，它是任意向量和
中描述的场景，使用以下步骤创建明细表，以便在概念设计中分析体量的体积。 即，点积等于33矩阵的行列式。 双面展开得到计算结果。 这将使您能够： 通过与外积的计算公式比较，发现公式只需引入I，j，k，并与相应的系数进行组合，即可得到该向量。
从几何学理解，一个向量p和
点乘法的结果等于由向量v向量w确定的平行六面体的有向体积。 什么样的向量p能满足这种特殊性质？
请想起计算长方体体积的方法。 首先求出由向量v和w决定的平行四边形的面积，将该面积乘以向量
平行四边形垂直方向的成分(底面积乘以高度)。 向量p和任意向量
点积的几何解释是将投影到p上，并将投影长度与p的长度相乘。
如果p是与v和w垂直，长度为平行四边形的面积，则p和
的点积是在与v和w垂直的方向上投影，投影长度乘以平行四边形的面积，正好是长方体的体积。 选择合适的向量方向后，如果点积为正，则与、向量v和向量w满足右手定律的情况相同。 我在那里找到了向量p，很满足。 在几何学上，这个向量与向量v和w垂直，其长度与这两个向量在狂野冬日的平行四边形的面积相同。 从计算的观点来看，坐标系数是一致的。 两者是相同的向量。