实际上，这篇文章主要讨论了为什么向量外积是这样定义的。 标题是为了吸引人，让很多有同样疑问的人可以搜索。
大学时代的第一节课是《空间解析几何》，和大多数教材一样，我记得开头是向量点积和外积的定义。 点积的定义很明白。 ab (为了便于讨论，以后都以b为单位矢量。 )可以看作向量a在向量b方向上的投影长度。
(图1 )
外积的定义很奇怪。 从逻辑上讲，ab应该是a在与b平行方向的成分长度，对应的ab应该是a在垂直的b方向的成分长度，也就是上图的虚线部分。 但是，ab被定义为方向与oab平面垂直的向量(这里，如果使用右手定则，垂直的纸面向内)。 我可以理解把外积定义为向量，这个奇怪的方向是什么？
闲话暂且不谈，先说结论，为了满足乘法交换律
乘法的三大运算法则：
1 .乘法分配律
把两个数的和相同的数相乘，就是把两个加数分别与这个数相乘，把两个乘积相加，和就不变了。
(a b )c=ac bc
2 .乘法的结合律
可以将三个数相乘，将前两个数相乘，然后再与另一个数相乘，或者将前两个数相乘，然后与另一个数相乘，乘积保持不变。
abc=a(bc ) ) ) ) )。
3 .乘法的交换定律
乘法定律将两个数相乘，交换因数的位置，它们的乘积不变。
ab=ba
点积和叉积作为我们定义的乘法，必须尽量满足这三个运算法则。 尽量满足，就是不提出强制性要求。 如果三个不满足，就先满足两个，如果两个不满足，就先满足一个，如果一个都不满足，就不要乘法了，改个名字吧。 当然越满足越好，但很不满意。 即使近似满足也可以接受。
其次，分别检查点积和外积是否满足乘法规则。 结合律作用不大，应用较少，我们暂不检查，只检查分配律和交换律。
积分AB
(图2 )
向量a被分解为2个向量a1和a2，a=a1 a2
dsdkfdOX2的长度(假设b为单位向量)
b=ox1的长度
a2b=X1X2的长度
很明显，OX2的长度=OX1的长度X1X2的长度
即，dsdkfda 1b a2b分配律成立
看看交换方法吧
根据点积的定义b=a的长度b的长度cos(a和b所成的角) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
a=b的长度a的长度cos(b与a所成的角度) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) b ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) 65 )
因为都是数值的运算，所以dsdkfdba交换则成立
但点积也有一点不合理，两个向量的点积结果是一个标量，方向被抛弃。 将点积的结果定义为向量就可以了吗？ 反正定义是人为的，也许可以重新定义点积。 那么，让我们把ab定义为一个向量吧。 大小和以前一样，a的长度b的长度cos(a和b所成的角)，方向是b的方向，也就是a的b方向的水平分量，与上图的矢量OX2对应。
根据新定义的点积
dsdkfd向量OX2
a1b=向量OX1
a2b=矢量X1X2
向量OX2=向量OX1向量X1X2，
因此，根据新定义的点积，分配律成立
看看交换方法吧
(图3 )。
我们定义的点积ab的方向是b方向，ba的方向是a方向，两个点积的方向不同，交换律不成立。 这就是将点积定义为标量而不是向量的原因，也可以说点积为了满足交换律而放弃了结果的方向性。
外积ab同样重新定义外积，将外积ab定义为a的b的垂直方向的成分，然后与点积一样去掉方向，将结果定义为标量。 看下图
(图4 )
关于ab=y0y2的长度，
a1b=y0y1的长度，
a2b=y1y2的长度，
与点积的情况相同，既可以满足分配律，也可以满足交换律，是完美的。
但是，这里是以二次元的情况来考虑的。 让我们看看在三维空间里发生了什么。
(图5 )
向量a分解为两个向量OA1和a1A2，a1和A2分别是向量a1、A2的顶点，未图示。 p1和p2是垂直于b的平面，点线部分的长度是我们定义的外积a1b
(图6 )
上图虚线部分的长度为我们定义的外积a2b
我们对准p1、p2平面
(图7 )
从前图的视线方向看，有以下效果。
(图8 )
这里为了便于画画，选择了两个比较极端的分量a1、a2。
从上面最后的图来看，虚线部分的长度之和明显大于实线部分的长度(也就是ab )，新定义的外积不满足分配规则。
仔细看图的话，3条线段构成封闭的三角形，每条线段都被认为是矢量。
(图9 )
那么，修正了定义，使得如果将ab=a1b a2b，即外积定义为一个向量，则满足分配律。
让我们看看交换律。 回顾(3)，在我们现在的定义中ab和ba分别与b和a垂直，方向不一致，不满足交换律。
此时，如果修改定义，将ab以b轴为中心按左手定律旋转90度，则ab与a垂直，b所在的平面为下图的左半部分
部分(图10)
当然按右手法则旋转也是可以的，这里主要是为了和书本上的定义一致。
同时我们对b×a进行同样的操作，看图(10)右半部分。我们看到a×b和b×a都垂直于平面，在一条直线上，但是方向相反(大小相等我们就不做过多解释了)，即：
a×b = -b×a
近似满足了乘法交换律，只要我们能够接受这个多出来的负号。
那么问题来了，跟挖掘机技术无关，修改过定义以后的叉积还满足分配律吗？
答案是肯定的。看图(9)，a×b，a1×b，a2×b三个向量是未做旋转前的叉积向量，这时的b轴垂直纸面朝里，这三个向量在一个平面上，且这个平面垂直于b轴。
我们对图(9)稍作修改
图(11)
将a2×b移至和b轴相交处，将整个平行四边形逆时针旋转90度，a×b，a1×b，a2×b都旋转了90度，平行四边形的形状没有发生改变，
a×b = a1×b + a2×b
仍然成立。
另外，之前点积也是在二维的情况下讨论的，在三维空间下还满足乘法分配律和交换律吗？
这个问题就留给聪明的你了。