Prof. Orley Ashenfelter，architectofmodernlaboreconomics，former AEA president
双差分法是估算处理效果的常用方法，但也有被滥用的倾向。 由于一些应用者对双差分法的优点和局限性缺乏了解，尤其是其潜在的平行倾向(parallel trend )假设……
差分法的极限
经济学家普遍关注政策实施后的效应，如对收入(y )的作用。 最简单、最天真的做法是比较处理群体——受政策影响的地区或个人——的前后差异。 例如
将其称为“差分估计量”(difference estimator )，从处理组(treatment group )政策实施后的样本平均值中减去政策实施前的样本平均值。 但由于宏观经济环境也随时间变化，政策实施地区的前后差异并不一定是处理效应。
双差分法的反事实逻辑
为了解决差分法的局限性，常见的方法是寻找合适的控制组(control group ) (即未执行政策的地区)或未参与项目的个体)作为处理组的事实(反事实)参照系。 具体而言，可以将未受政策影响的控制组前后的变化视为纯粹的时间效应
以上两个差异，即处理组前后变化减去控制组前后变化，可以对政策处理效果做出更可靠的估计。
(1) ) ) )。
这就是所谓的双重差分估计(Difference in Differences，简称DD或DID )，因为这是处理组差分与控制组差分之差。 该法最初由Ashenfelter(1978 )引入经济学，国内最早应用于tdhm，陈烨) 2005 )。
从以上推论可以看出，DID的反事实逻辑可以成立，其基本前提是，如果处理组没有受到政策的干预，则其时间效应或倾向必须与控制组相同。 因此，可以用后者来控制时间效果。 这是所谓的“平行倾向”(parallel trend )或“共同倾向”(common trend )的假设。 下图直观地显示了DID的思想和平行倾向假设。
在此，t=1表示政策实施前(before )，t=2表示政策实施后(after )。 但是，通过二重差分得到的DID估计量很难计算其标准误差，无法加入控制变量，向多期数据的展开也不容易。 因此，在实践中，一般采用回归的方法得到DID估计量。
双差分法的回归模型
考虑以下面板模型：
(2) ) ) )。
其中Gi是分组虚拟变量(处理组=1，控制组=0)，表示处理组和控制组之间的固有差异(无论是否执行策略)。 Dt是分割虚拟变量(政策实施后=1，政策实施前=0，允许使用多期数据)，表示政策实施前后的时间效果)即使不实施政策也存在； 另一方面，交互项gidt真正体现了政策实施后处理组的效果，即处理效果。 这是因为处理组在政策干预后的期望值如下：
处理组在政策干预前的期望值如下
因此，处理组期望值前后的变化如下。
(3) ) )。
另一方面，控制组政策干预后期望值如下：
控制组政策干预前期望值如下
因此，控制组期望值前后的变化如下。
(4) ) )。
从式(3)减去式)可知，双重差分的结果正好成为回归式) 2的相互作用项GiDt的系数。 此外，利用OLS估计面板模型(2)，得到的相互作用项GiDt的系数的估计可以证明与正好双重差分法)1)的计算结果(zgdy，2014，第335，339页)相同。
一般双差分回归
更常见的是，可以向面板模型添加固定效果、固定时间效果和其他控制变量。
(5) ) )。
在此，ui具有个体固定效果(如果包含两者来代替更粗糙分组后的虚拟变量Gi，则成为严密的多重共线性)，t具有比时间固定效果)更粗糙地分割后的虚拟变量Dt，如果包含两者，则成为严密的多重共线性)，zit是一系列的控制变量
上式实际上是“双向固定效果模型”(two-way fixed effects )，因为它包含个体固定效果) ui )和时间固定效果)t )两者。 但是，双差分法的重要变量，即相互作用项GiDt (“政策虚拟变量”，也称为policy dummy )。 在具体回归中，个体固定效果ui可以通过加入个体虚拟变量来实现(即LSDV法、或群内方差变换、within transformation )； 时间效果t通过增加每个期间时间虚拟变量(time dumm )
ies)来实现。双重差分法的假定
为了使用OLS一致地估计方程(5)，需要作以下两个假定。
假定1、此模型设定正确。特别地，无论处理组还是控制组，其时间趋势项都是 λt。此假定即上文的 “平行趋势假定”(parallel trend assumption)。此假定比较隐蔽(有人称为 “hidden assumption”)，因为只要写下方程(5)，就已默认了平行趋势假定。
假定2、暂时性冲击 εit与政策虚拟变量 Gi·Dt 不相关。这是保证双向固定效应为一致估计量(consistent estimator)的重要条件。
在此，可以允许个体固定效应 ui与政策虚拟变量 Gi·Dt相关(可通过双重差分或组内变换消去 ui，或通过LSDV法控制 ui)。DID允许根据个体特征(ui)进行选择，只要此特征不随时间而变；这是DID的最大优点，即可以部分地缓解因 “选择偏差”(selection bias)而导致的内生性(endogeneity)。
如果违背假定1(平行趋势假定)，会有什么后果？假设真实模型为：
则处理组(Gi=1)的时间趋势为 (λt+ηt)，而控制组(Gi=0)的时间趋势为 λt，故为非平行趋势。如果将此模型误设为平行趋势，则实际估计的模型为
其中，Giηt被纳入扰动项中，导致扰动项 (Giηt+ εit)与政策虚拟变量(Gi·Dt)相关，使得OLS不一致，也违背了上述假定2。
隐形的发箍沉降(Ashenfelter’s dip)
在使用个体或企业层面的微观数据时，有些人认为因个体无法影响宏观政策(或培训项目)的推出，故为外生。但事实上，个体依然可以自我选择是否参加项目，从而导致内生性。
比如，Ashenfelter (1978) 在研究就业培训的效应时发现，参加就业培训者在参加培训之年 (1964) 以及之前的那年 (1963)，其平均收入不仅相对于控制组下降，而且绝对地下降，称为 “隐形的发箍沉降”(Ashenfelter’s dip)，参见下图。
在上图中，实线为参加项目者的平均收入，而虚线为未参加项目者的平均收入(二者均为男性白人，该现象也存在于女性白人、男性黑人、女性黑人，在此从略)。上图表明，在1963年与1964年收入下降的不走运者(εit为很大的负向冲击)，很多人自我选择参加就业培训。
如果因为 εit或 εi,t-1 特别低而参加培训，则通常 εi,t+1 与 εi,t+2会恢复到正常值，导致高估培训项目的效应。而 {εit} 也可能存在自相关。这使得暂时性冲击 εit 与政策虚拟变量 Gi·Dt 相关，导致不一致的估计(也意味着非平行的时间趋势，违背假定1，参见上图)。
非平行趋势的检验与处理方法
mldmn、画时间趋势图
如果在政策干预前有多期数据，则可分别画处理组与控制组的时间趋势图(类似于上图)，并直观判断这两组的时间趋势是否平行(比如，考察是否存在Ashenfelter's dip)。如果二者大致平行，则可增强对平行趋势假定的信心。然而，即使在政策干预前两组的时间趋势相同，也无法保证二者在干预后的时间趋势也相同(后者本质上不可观测，因为时间效应已与处理效应混合在一起)。另外，如果只有两期数据，则无法使用此法。
方法二、加入更多的控制变量
从上文的讨论可知，非平行趋势可能由于遗漏变量所导致，故在 zit 中加入更多控制变量，或可缓解内生性。但此法在实践中不易实施。
方法三、假设线性时间趋势
如果假设时间趋势为线性函数，则可加入每位个体的时间趋势项：
在具体回归时，加入个体虚拟变量与时间趋势项 t= 1, 2, ... , T 的交互项即可。然而，线性时间趋势毕竟是较强的假定，不一定能成立。故此法也不完全解决问题，但可作为稳健性检验。
方法四、三重差分法
在一定条件下，可通过引入两个控制组，进行三次差分，称为“三重差分法”(difference-in-differences-in-differences，简记DDD)，这样可以更好地控制时间趋势的差异，使得平行趋势假定更易成立。有关DDD的进一步介绍，参见zgdy(2014，第343页)。
参考文献