汉明码
汉明码是线性组码。 线性组码是将信息序列划分为长度为k的序列段，在每一段后附加r位的监控码，在监控码与信息码之间形成线性关系。 也就是说，它们之间通过线性方程式联系在一起。 这样构成的抗干扰码称为线性分组码。
设码长为n，信息位长为k，监督位长为r=n-k。 在需要纠正1位的错误的情况下，长度为n的序列上的各位有可能发生错误，共有n种情况，因为有可能不发生错误，所以需要用长度为r的监督代码表示n 1种情况。 长度为r的监督代码可以表示总共2^r的情况。 于是，我
2^r=n 1，即r=log(n1 ) )。
举个例子来说明汉明码吧。 作为k=4，在需要纠正1比特错误的情况下
2^r=n 1=k r 1=4 r 1
得到r=3。 如果取r=3，则代码长度为3 4=7。 用a6、a5、 a0表示这7个符号。 用S1、S2、S3表示3个监狱关系式中的校正子。 我们规定如下(这个规定是可选的)。
S1S2S3错误代码的位置
001a0
010a1
100a2
011a3
101a4
110a5
111a6
000没有错误
根据表的规定，只有在一个错误代码位置位于a2、a4、a5或a6的情况下，校正子S1才为1，否则S1为0。 这意味着a2、a4、a5、a6这4个码元构成偶校验关系：
S1=a6a5a4a2 (1)式
同样，可以获得以下成果：
S2=a6a5a3a1 (2)式
S1=a6a4a3A0 (3)式
当发送信号时，信息比特a6、a5、a4和a3的值取决于输入信号，且是随机的。 导演是a2、a1，a0应当根据导演关系基于信息比特的可取值来确定。 也就是说，监督位的可取值应该使上述(1)、(2)、(3)式中的S1、S2、S3为0，这表示在初始状态下没有误码。 也就是说
a6 a4 > a2=0
a6 a3 > a1=0
a6 a3 > A0=0
根据上式进行移项运算后，如下。
a2=a6a5a4
a1=a6a5a3
a0=a6a4a3
如果知道信息比特，则能够根据上式计算a2、a1、a0的3个监督比特的值。
在接收端接收各代码组后，首先，按照[1]~[3]式计算S1、S2、S3，然后，通过查看表得知有错误。
例如，如果接收的码字为0000011，则根据(1) () ) )3)进行计算。
S1=0，S2=1，S3=1
验算表中a3位必须有错误代码。
由于该编码方法的最小汉明距离为d=3，因此该编码能够纠正一个错误代码，或者检测出两个错误代码。
汉明距离
在代码集中，任意两个码字之间对应比特中的符号具有不同值的比特数被定义为这两个码字之间的汉明距离。 也就是说
d(x，y )=x[i]y[i]，其中I=0，1， n-1，x，y均为n位代码，表示异或
例如，(00 )和(01 )之间的距离为1，(110 )和(101 )之间的距离为2。
在代码组的集合中，任意两个代码之间的汉明距离的最小值被称为该代码组的最小汉明距离。
最小汉明距离越大，码组越具有抗干扰能力。
用d表示代码组的最小汉明距离。
1。 如果代码组用于错误检测，则如果允许e位错误检测
d=e 1
有两个距离为d的码字a和b，a有e个错误的话，a就会成为以a为圆心，e位半径的球体表面的码字。 为了准确区分这些码字既不是a也不是b，a发生错误代码的球面上的点和b应该至少有一个数量级的距离。 也就是说，如果b位于球面上或球面内部，则不知道b是否是a的错误代码。 即，a和b之间的最小距离d=e 1。
2。 如果可以将码组用于纠错，纠正t位的错误
d=2t 1
在设置了码字a和b，a发生了t个错误，b也发生了t个错误的情况下，a代码成为以a为圆心，以t为半径的球面上的码字。 b码为以b为圆的中心、以t为半径的球面上的码字。 为了区分在发生了t个错误之后一个代码字是属于a的错误代码还是属于b的错误代码，需要a、b为球心的两个球面不相交，即球心a、b之间的距离大于2t，因此d=2t 1。
3。 代码组用于纠正t个错误并检测e个错误
d=e t 1，在此为et
组合这样的错误检测修正方式时，与上述两种情况类似。 如果码字中有t个以下的错误，系统将以纠错方式工作。 如果码字中出现t个以上的错误，出现e个以下的错误，系统将以检错方式工作； a发生e个错误，b发生t个错误时，为了在改正b错误的同时发现a的错误，以a为球心、以e为球心、以b为球心、以t为半径的球应该不相交，所以a、b之间的距离在e t 1以上，即D=E
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