已知变量x和y是线性关系(其中XY都是nx1的列向量)，为了知道x和y有什么样的线性关系(也就是解x的系数)，如果这是一个工程问题，我们解决这个问题的方法是对x和y进行采样根据线性理论，系数矩阵是nxn方阵，当秩为n时，方程具有唯一解，也就是说，如果方程数大于未知数数，则方程无法求解。 此时，只能求出一个近似解。 根据目的不同，得到的近似解也不同。 为了使方程左右两边误差的平方和最小，得到的近似解是最自由的纤细平方解。 “平方”是“平方”的意思，最自由的纤细乘是最小平方和。 这个问题的证明是在研究生的矩阵分析导入数学课上学的，但现在也忘记了，只记得结论式。
总之我记得原理。 对于某个超稳态方程AX=Y，求x。
解：设x可能的解为z，将z代入x得到Y1=AZ，建立目标函数J=e^T * e。 其中e=(Y - Y1 )一定有使j最小的z。 这个z是x最自由的苗条型乘方解。
e^T * e是y的误差的平方和，j所能取的最小值解是最自由的苗条乘解，求x的过程是j的一阶导为0。 这是胡说八道。 严密的解决方法如下。
例如，假设变量y是n个变量xi的线性组合，求出系数。
将方程式设定为AX=y，即
为了计算系数a1、a2、an的值，至少需要n次x、y的采样值。 示例：
这样可以求出系数a1、a2、an的值。 采样样本不仅有n个，有n个以上也没关系。 方程式无法求解，但可以求出最自由的苗条型乘解。
将方程式写成矩阵后，如下所示。
XA=Y (式2 )
由此，求出所有系数ai
---------后记
另外翻一下电子版的教科书，贴上最自由的苗条骑行的证明过程：
证明过程见第《矩阵分析引论》页。 证明过程需要子空间的概念，这个概念的定义在第6页。
最后简单整理证明过程。