无穷级数和的几种方法(毕业论文)
陕西理工大学
函授毕业论文
主题无穷级数和的几种方法
学生姓名mhdxxm
专业名称数学和应用数学
无穷级数和的几种方法
(学院)。
摘要：本文介绍了10种无穷级数和的方法，并通过实例说明了这些方法的应用
关键词：无限级数； 级数收敛； 级数发散； 求和
无限级数包括数项级数和函数项级数。 是表示函数性质的重要工具，也是数值计算函数的重要手段。 由于我们常见的无穷级数求和多为数项级数和幂级数求和，这里给出的10种方法主要针对上述两种级数，通过例题阐述这些求和方法的应用。 1定义法[1]
这是利用无穷级数和的定义求级数和的方法。 该方法用于级数的前项部分和数列容易求出的级数。 这里又分为以下三类。
直接法：等差或等比级数，或者适合通过简单的变换容易化为这两类级数。
例1求级数之和。
解的各项系数1、3、5是公差为2的等差数列，的两边可以用同一乘法得到。
所以，所以。
)2)拆除法)。
例2求级数之和。
解开
，
也就是说。
(3)推法：是利用问题本身所具有的递归关系来求问题的方法。
例3求级数之和。
解开
可以用数学归纳法来证明：
，
所以。
2阿贝法(即结构幂级数法) ) ) ) ) ) ) ) )。
级数收敛后，构筑幂级数很简单，但幂级数的和函数可以逐项微分或积分，所以可以容易地得到和。
例4级数之和。
解除命令。
这样构成幂级数是为了消除系数中的因子。按项进行积分
也就是说。
上式两边对求导：
所以。
由于每三项微分法可以在幂函数微分时生成常系数，因此提供了一种处理某些幂函数总和问题的方法。 当然，实质上，这是总和运算和求导(微分)运算的交换顺序的问题，所以对于必须是幂级数的收敛区间的()之后的各项积分法也是如此。
例5级数的和函数。 其中
解开
命令。
由、则；
同样，
所以。
如果需要的级数的一般项可能是其他函数的导数，并且这些函数容易用一般项的级数求和，则可以逐个导出这些函数。
例6求级数的和函数，在区间内
解开
同调
四项积分法
与条项微分法一样，条项积分法也是级数求和的重要方法之一，这里当然也是使用函数积分时产生的常系数，便于求和条项积分后的新级数。
例7求级数的和函数。 这里
解除命令。
然后，
所以，
不行。
按五项进行微分积分
有时需要在同一级数和的公式中逐项微分，逐项积分。 这往往是把一个级数和问题变成两个级数和问题才遇到的。
例8求级数的和函数，这里
解开
同调
6基于函数展开法
数项级数的总和也可以通过在函数的幂级数或傅立叶级数展开后赋值来获得(当然，它们常常与幂级数逐项微分并与积分技术结合使用)。
幂级数的赋值法：根据给定的数项级数的特征构造容易合计的幂级数。 在该幂级数的收敛域内有一点。 那时得到的常数项级数正是求和的级数。 设求出的级数之和为，幂级数之和为。
例9求级数之和。
解作、由、
那么，那就。
)2)傅立叶级数赋值法)利用函数的傅立叶级数展开进行再赋值，是求多项式级数和的重要手段。
例10求级数之和。
把上面展开成余弦级数
令，故。
7复数法(三角级数求和法) )。
这是三角级数和常用的方法，为了求级数及级数之和，多将其看作复数域内幂级数(的实部和虚部)。 求和就可以解决级数及级数之和的问题。
例11求级数的和函数。
解开其中
令、
，
所以。
8分法
积分概念实际上可以看作是无穷级数和概念的推广，但相对来说，定积分比无穷级数更容易处理，一些级数和问题可以看作定积分问题，但它与定积分的递推公式有关。
例12求级数之和。
解除命令，思考。
当时，所以，
于是，也就是说，也就是说。
综合有两个公式，所以还有递归
、(3) )。
另外，将公式的两边取为极限
不行。
(2) (3)利用公式。
求无穷级数之和。 但是，当是非负整数时，用这个公式求级数之和特别简单。 以下验证这个公式的正确性。
构造函数
因此。
然后，
所以。
例13求级数之和。
通过和上面的公式比较知道解这个级数
同调
用微分方程解9