例4 )判断以下函数是否为全射、单射、双射。
4 )判断以下函数是否为全射、单射、双射。
)1)小于f:NZ、f(n )=n的完全平方数的个数
f(n )={0、0、1、1、2、2、3、2、4、2、5、2
3360f(48 )=7f (49 )=7f (50 )=8，
不是单射，48、49的像都是7，不是满射，因为负数没有原画。
f:N-N时，f为全射。
)2) f:RR、f(a )=2a 5
' yrx=(y-5 )/2存在且f ) x )=Y时，f为满射。
' x1，x2R，X1X2时，为2x1 52x1 5，即f(x1f ) x2 )
因此，f是单射，因此f(x )=双射
)3) f:RZ，f(a )=[a]，[a]是取整数的函数，表示a以下的最大整数。
f是全射，但不是单射，因此也不是双射。
)4) f:z R，f(n )=Lgn，z为正整数集合。
f既不是单射也不是满射。
3、常用函数：
定义29 :
(1) f是从a到b的函数，存在一个bB，的) aA，f(a )=b
)恒等关系，集合a上的恒等主要是A A的函数，即' a
A，IA(A )=a，IA是双镜头。
)3)单调递增函数和单调递减函数，f:RR的函数。
)特征函数：将a表示为一个集合、ba和子集b的特征。
函数x是AE=的映射，定义为： X=1，aB的X=0，aA-B
B B B
)5)自然映射：将r设为a上的余角关系，将g设为a到A/R上的映射。
也就是说，g(a )=[a] ) (a )是a生成的等价类) ) g是从a到A/R的自然映射。
3360 a={ 1，2，3，4 }，b={ 1，4 }，
于是，b的特征函数成为XB(1)、XB )、2 )=0、XB )、3 )=0、XB )、4 )=1
:A={a，b，c}，R={，}IA，等价类[a]=[b]={a，b}，
[c]={c}，A/R={{a，b}，{c}时，为g(a )=g (b )=[a]，g(a )=[c]。
二.复合函数
定义30:函数f:AB、g:BC，复合关系fg是函数f和g的
1
复合函数
定理17:如果设为函数f:AB、g :BC，则复合地fg是从a到c函数，
以及' aA，(fg ) ) a )=g ) f(a ) ) ) ) ) ) 652
因为证明：是函数，所以' aA是bB，f(a )=b，g是函数，所以存在
的c决定g(b )=c，g(f(a ) )。 另一方面，根据复合关系，fg，
由此可知，由于存在' a，一cC，(f g ) ) a )=c，所以f g满足函数
数个条件且(f g ) ) a )=g ) f ) a ) )
5:集合A={a，b，c}，a上的两个函数3360
f={ 1，3，2，1，3，3 }，g={ 1，2，2，1，3，3 }
于是，fg={ 1，3，2，2，3，1 }，gf={ 1，1，2，3，3，2 }
f={ 1，2，2，3，3，1 }，ff={ 1，1，2，2，3，3 }=ia
6:R上的三个函数，f(a )=3-a，f(a )=2aah ) a )=a/3
(f g ) a )=g ) f ) a )=g )3-a )=2)3-a )1=7-2a
(g f ) (a )=f ) g ) a )=f ) 2a1) (2a ) (fg ) h ) (a ) ) ) ) ) ) )。
=h(fg ) (a ) )=h(fg ) f (a ) )=h )=(=(7-2a )=)7-2a )/3
定理18:为函数F:AB； g:BC； h:DC时，为f(gh )=(fg ) h
复合关系运算结合中从主到复合函数的结合律
定理19:设为函数f:AB，g:BC设为：
)1)如果f和g均为满射，则f ) g也为满射；
)2)如果f和g都是单射，则f ) g也是单射
)3)如果f和g都是双射，则f-g也是双射。
:(1) z ) c由于g是全反射，证明y(b )存在，g (g )=z，证明f是全反射
在y B中，以成为f(x )=y、(g(f ) )=z即(f g ) ) x )的方式存在x ) a