函数的幂级数形式有广泛的应用，如函数值估计、数值计算、微分方程解等。 用jddby展开式可以写出函数的幂级数展开形式，即直接展开法； 但是一般来说，函数的
由于阶导数不易求解，且不易考察余项，所以这不是一个好方法。 间接求我们常用级数展开式的方法。 我们利用幂级数和函数的重要性质，以及一些重要的已知幂级数展开式，间接求出幂级数展开式。
首先，必须熟悉以下函数(x ) )的幂级数展开式。 这是进行加法运算的基础。
(e ^ x=sumlimits _ { n=0} ^inftyfrac { x ^ n } { n！ (-)信息
(sinx=sumlimits _ { n=0} ^inftyfrac { (-1 ) ^n}{ )2n1 )！ }x^{2n1}(-(infty
(FRAC1) x1 )=) sum ) limits_{n=0}^ ) infty(-1 ) ^NX^n(-1
在这3个式子中，前2个是利用jddby展开得到的幂级数展开式。 请注意第三个公式。 这是经典的无限等比级数的形式。 如果等比级数的第一项是(a_1 )，公比是(q)、(|q|1)，则等比级数收敛于 () (s )，) ) s=(frac )。 记住这个形式对记住这个经典的级数展开式和类似的级数展开式有相当大的帮助。
许多函数的幂级数展开，以上述三类级数为基础，可以通过微分、积分、变量代换、恒等变形、待定系数等方法求出幂级数展开式。
微分法
当上述级数是要求幂级数展开式的函数的原函数时(例如，(y=(cosx ) )，要求幂级数展开式时，首先写出必要的函数展开式，然后两边同时求微分。
例(cosx ) ) ) (x ) )的幂级数展开式进行求解。
解((sinx ) ) cosx ) )，注意((sinx=) sum(limits ) { n=0} ^infty (frac ) )-1 ) ^ n } { } x ^ {2n1 }
在等号两侧同时寻求指引，(cosx=(sum ) limits _ { n=0} ^ (infty {frac { { {-1 } ^ k } } { (() ) k ) }！ }{x^{2k}}(-(inftyx(infty ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) inftyx (infty ) ) ) ) ) ) ) ) )
积分法
当上述级数是求幂级数展开式的函数的导数时，(y=(ln ) 1x ) )中的幂级数展开式，先写出需要的函数展开式，同时进行积分。
关于(y=(ln ) 1x ) )求出(x ) )的幂级数展开式
() ((ln ) 1x ) ) )=(FRAC1) 1x ) )，而() ) frac1) x1 )=(sum(limits ) {n=0}^ ) infty )-1 )
同时积分这个公式的两边，就可以得到。
(Begin{Gathered}
ln(1x ) ) int_0) x ) FRAC{1}{{1x}}dx )=sum(limits_{n=0}^ ) infty{{{-1}}^n}
=sumlimits _ { n=1} ^infty { {-1 } } ^ { n-1 } }frac { { x ^ n } } { n } {-1x leqslant1}
end{gathered} )
这里要注意收敛域的变化。
三.变量替换
即，用上面幂级数展开式进行变量置换，得到幂级数展开式
(e^{x^2} )的) ) x=0) )上的幂级数的情况下，用) y=e^x ) )的展开式直接置换为((x ) ) x^2) )。
(e ) ) ) x )2) )=) sum ) limits ) ) n=0) ^ ) infty ) ) FRAC ) {{x^{2n}}}{n！ } () ) ) ) ) ) ) ) )
利用上述三种方法，还可以求出：
(FRAC{1}{{1}x^2}}=) sumlimits _ { n=0} ^ (infty { {-1 } } ^ n } { x ^ { 2n } )-1
(Arctanx=(sum ) limits_{n=0}^ ) infty (frac { { {-1 } ^ n } { {2n1 } ) () )
这丰富了求幂级数的已知函数的素材。
这也是教材中经常出现的经典案例——幂级数展开式的求法。 面对形状稍复杂的幂级数展开，我们可以先进行恒等变形，再求出展开式。
关于函数 (求出(f(x ) )
(x)的幂级数，那么函数(x^mf(x))和(frac1{x^m}f(x))的幂级数展开式(其中(m)是小于(f(x))的幂级数展开式中首项的次数的正整数)也迎刃而解，也可以作为“素材”。因而，我们的目标是通过等价变形，把函数变成以上“素材”的加减形式，然后再调整形式，求和合并。这是我们求幂级数最常用的方法。
例1：把函数(f(x) = (1 - x)ln (1 + x))展开成(x )的幂级数
函数可以写成(ln(1+x))和(-xln(1+x))之和，两部分的幂级数都很好求出。
解：(begin{gathered}
f(x) = ln (1 + x) - xln (1 + x)\ = sumlimits_{n = 1}^infty {{{( - 1)}^{n - 1}}frac{{{x^n}}}{n}} - sumlimits_{n = 1}^infty {{{( - 1)}^{n - 1}}frac{{{x^{n + 1}}}}{n}( - 1 < x leqslant 1)} hfill \
= sumlimits_{n = 1}^infty {{{( - 1)}^{n - 1}}frac{{{x^n}}}{n}} - sumlimits_{n = 2}^infty {{{( - 1)}^n}frac{{{x^n}}}{{n - 1}}( - 1 < x leqslant 1)} hfill \
= x + sumlimits_{n = 2}^infty {(frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{n} - frac{{{{( - 1)}^n}}}{{n - 1}}){x^n}} ( - 1 < x leqslant 1) hfill \
= x + sumlimits_{n = 2}^infty {frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}(2n - 1)}}{{n(n - 1)}}{x^n}( - 1 < x leqslant 1)} hfill \
end{gathered} )
这里两部分相加的时候，先调整了形式，使得两式子中
的次数相等，可以进行合并。
例2：设(f(x) = left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{frac{{1 + {x^2}}}{x}arctan x,x ne 0} \
{1,x = 0}
end{array}} right.)，将函数(f(x))展开成(x )的幂级数。
注意到我们可以写出(y=arctan x)的幂级数形式，然后({{1+x^2}over x}=x+frac1 x)
解：(begin{gathered}
f(x) = (frac{1}{x} + x)sumlimits_{n = 0}^infty {frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n + 1}}{x^{2n + 1}}( - 1 leqslant x leqslant 1)} hfill \
= sumlimits_{n = 0}^infty {frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n + 1}}{x^{2n}} + sumlimits_{n = 0}^infty {frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n + 1}}{x^{2n + 2}}} ( - 1 leqslant x leqslant 1)} hfill \
= sumlimits_{n = 0}^infty {frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n + 1}}{x^{2n}} + sumlimits_{n = 1}^infty {frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{2n - 1}}{x^{2n}}} ( - 1 leqslant x leqslant 1)} hfill \
= 1 + sumlimits_{n = 1}^infty {left[ {frac{{{{( - 1)}^n}}}{{2n + 1}} + frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{2n - 1}}} right]{x^{2n}}( - 1 leqslant x leqslant 1)} hfill \
= 1 + sumlimits_{n = 1}^infty {frac{{2{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{(2n - 1)(2n + 1)}}} {x^{2n}}( - 1 leqslant x leqslant 1) hfill \
end{gathered} )
例3：将函数(f(x)=ln(4-3x-x^2))展开成
的幂级数.
分析：拆成(ln(1-x)+ln(4+x))是显然的，但是(ln(x+4))直接在(x =0)处展开就出了收敛域了，因而要把4提出来.
解：(begin{gathered}
f(x) = ln [(1 - x)(4 + x)] = ln (1 - x) + 2ln 2ln (1 + frac{1}{4}x) hfill \
= sumlimits_{n = 1}^infty {{{( - 1)}^{n - 1}}frac{{{{( - x)}^n}}}{n}} + 2ln 2sumlimits_{n = 1}^infty {{{( - 1)}^{n - 1}}frac{{{{(frac{1}{4}x)}^n}}}{n}} hfill \
= sumlimits_{n = 1}^infty { - frac{{{x^n}}}{n} + 2ln 2} sumlimits_{n = 1}^infty {{{( - 1)}^{n - 1}}frac{1}{{{2^{2n}}}}frac{{{x^n}}}{n}} hfill \
= sumlimits_{n = 1}^infty {left[ {ln 2frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{{2^{2n - 1}}}} - 1} right]} frac{{{x^n}}}{n} hfill \
end{gathered} )
最后再介绍一种不常用的方法，即待定系数法。待定系数法适合于可以写成分式的形式，该分式的分子与分母都可以写成幂级数形式的函数的展开。如函数(y=tan x)，它可以写成(y=frac{sin x}{cos x})，而分子分母都可以展开成幂级数。这种函数我们可以用待定系数法求解。
例4：写出(y=tan x)关于(x )的幂级数(只要求展开到(x ^5)项).
解：令(tan x=sumlimits_{n=1}^infty a_nx^n)
注意到(sin x=sumlimits_{n=0}^infty frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}(-infty
(cos x = sumlimits_{n = 0}^infty {frac{{{{( - 1)}^k}}}{{(2k)!}}{x^{2k}}( - infty < x < + infty )} )
由(sin x=tan xcdotcos x)
(sumlimits_{n = 0}^infty {frac{{{{( - 1)}^k}}}{{(2k + 1)!}}} {x^{2k + 1}} = sumlimits_{n = 0}^infty {frac{{{{( - 1)}^k}}}{{(2k)!}}{x^{2k}}sumlimits_{n = 1}^infty {{a_n}{x^n}} } )
依次对照(x,x^3,x^5)的系数，有
(1=a_1)
(-frac16=-frac12a_1+a_3)
(frac1{120}=a_5-frac12a_3+frac1{24}a_1)
解得：
(a_1=1,a_3=frac13,a_5=frac2{15})
(thereforetan x=x+frac{x^3}3+frac2{15}x^5+cdots(-fracpi2
总结起来，将函数展开成幂级数，最主要的是熟悉常见的幂级数展开式作为“素材”，然后对函数形式进行变形，写出展开式。