深入解读Logistic回归结果(一) :回归系数，OR
关键词：逻辑回归分析、lasso回归系数解读、回归系数解读
Logistic回归虽然名字叫“回归”，但是是分类学习方法。 使用场景大致有两个。 第一个用于预测，第二个寻找因变量的影响因素。
从线性回归到逻辑回归
线性回归和Logistic回归都是广义线性模型的特例。
假设有一组因数变量y和自变量x1，x2，x3，xn。 其中y是连续变量，可以拟合线性方程。
y=0 1*x1 2*x2 3*x3 … n*xn
用最小二乘法估计各系数值。
如果y是二分类变量，只能取值0或1，线性回归方程就会遇到困难。方程的右侧是连续值，取值从负无限到正无限，但左侧只能取值[ 0，1 ]，无法对应。 为了继续线性回归，统计学家提出了一种将方程右边的取值转换为[ 0，1 ]的转换方法。 最后选择了逻辑函数：
y=1/(1 e-x )
这是一个s型函数，值域为[ 0，1 ]，可以将任意数值映射到[ 0，1 ]，具有无穷阶可导等优良的数学性质。
将线性回归方程改写如下
y=1/(1e-z )，
其中z=0 1*x1 2*x2 3*x3 … n*xn
此时方程两边的取值都在0和1之间。
进一步进行数学变换的话，可以写如下。
ln(y/)1-y ) )=0 1*x1 2*x2 3*x3 … n*xn
ln(y/)1-y ) )称为Logit变换。 我们认为y取值1的概率p(y=1)。 因此，1-y是y取值0的概率p ) y=0)，所以上式改写如下。
p(y=1)=ez/) 1ez )，
p(y=0)=1/) 1ez )，
其中z=0 1*x1 2*x2 3*x3 … n*xn。
然后，可以使用“最大似然法”估计各系数。
二odds与OR复习
odds:被称为概率、比、比数，是指某个事件发生的可能性(概率)和不发生的可能性)的比。 如果用p表示事件发生的概率，则odds=p/(1-p )。
OR :比较是实验组的事件发生概率(odds1) /对照组的事件发生概率(odds2)。
三逻辑回归结果解读
让我用一个例子来说明。 此示例包含200个学生数据，包含一个参数和四个参数。
变量： hon表示学生是否在荣誉班(honors class )，1表示yes，0表示no。
参数：
female :性别、分类变量，1=女，0=男
read:阅读成绩，连续变量
write:写作成绩是连续变量
math )数学成绩，连续变量
1、不含任何变量的逻辑回归
首先拟合不含变量的Logistic回归，
模型为ln(p/(1-p )=0
回归结果如下。 结果被编辑了。
真的
系数
标准错误
p
切片
-1.12546
0.164
0.000
这里的系数是模型中的0=-1.12546，
我们用p表示学生在荣誉班的概率，所以有ln(p/(1-p )=0=-1.12546。
解方程，p=0.245。
odds=p/1-p=0.3245
这里的p是什么意思？ p在所有数据中是hon=1的概率。
试着统计一下整个手机的数据：吧
真的
例句数
百分比
0
151
75.5%
1
49
24.5%
hon取值1的概率p为49/(151 49 )=24.5%=0.245，可以手动计算出ln(p/(1-p )=-1.12546等于系数0。 可以得到关系：
0=ln(odds )。
2、含二分类因子的模型
拟合包含二分类因子变量female的Logistic回归，
模型为ln(p/)1-p )=0 1*female。
回归结果如下。 结果被编辑了。
真的
系数
标准错误
p
帧
0.593
. 3414294
0.083
切片
-1.47
. 2689555
0.000
在解读这个结果之前，让我们看一下hon和female的交叉表：
真的
帧
p>TotalMale
Female
0
74
77
151
1
17
32
49
Total
91
109
根据这个交叉表，对于男性(Male)，其处在荣誉班级的概率为17/91，处在非荣誉班级的概率为74/91，所以其处在荣誉班级的几率odds1=(17/91)/(74/91) = 17/74 = 0.23；相应的，女性处于荣誉班级的几率odds2 = (32/109)/(77/109)=32/77 = 0.42。女性对男性的几率之比OR = odds2/odds1 = 0.42/0.23 = 1.809。我们可以说，女性比男性在荣誉班的几率高80.9%。
回到Logistic回归结果。截距的系数-1.47是男性odds的对数(因为男性用female=0表示，是对照组)，ln(0.23) = -1.47。变量female的系数为0.593，是女性对男性的OR值的对数，ln(1.809) = 0.593。所以我们可以得出关系: OR = exp(β)，或者β= ln(OR)(exp(x)函数为指数函数，代表e的x次方)。
3、包含一个连续变量的模型
拟合一个包含连续变量math的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) =β0+β1*math.
回归结果如下(结果经过编辑)：
hon
系数β
标准误
P
math
.1563404
.0256095
0.000
截距
-9.793942
1.481745
0.000
这里截距系数的含义是在荣誉班中math成绩为0的odds的对数。我们计算出odds = exp(-9.793942) = .00005579，是非常小的。因为在我们的数据中，没有math成绩为0的学生，所以这是一个外推出来的假想值。
怎么解释math的系数呢？根据拟合的模型，有：
ln(p/(1-p)) = – 9.793942 + .1563404*math
我们先假设math=54，有：
ln(p/(1-p))(math=54) = – 9.793942 + .1563404 *54
然后我们把math提高提高一个单位，令math=55，有：
ln(p/(1-p))(math=55) = – 9.793942 + .1563404 *55
两者之差：
ln(p/(1-p))(math=55) – ln(p/1-p))(math = 54) = 0.1563404.
正好是变量math的系数。
由此我们可以说，math每提高1个单位，odds(即p/(1-p)，也即处于荣誉班的几率)的对数增加0.1563404。
那么odds增加多少呢？根据对数公式：
ln(p/(1-p))(math=55) – ln(p/1-p))(math = 54) = ln((p/(1-p)(math=55)/ (p/(1-p)(math=54))) = ln(odds(math=55)/ odds(math=54)) = 0.1563404.
所以：
odds(math=55)/ odds(math=54) = exp(0.1563404) = 1.169.
因此我们可以说，math每升高一个单位，odds增加16.9%。且与math的所处的绝对值无关。
聪明的读者肯定发现，odds(math=55)/ odds(math=54)不就是OR嘛！
4、包含多个变量的模型(无交互效应)
拟合一个包含female、math、read的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) = β0+β1*math+β2*female+β3*read.
回归结果如下(结果经过编辑)：
hon
系数β
标准误
P
math
.1229589
略
0.000
female
0.979948
略
0.020
read
.0590632
略
0.026
截距
-11.77025
略
0.000
该结果说明:
(1) 性别：在math和read成绩都相同的条件下，女性(female=1)进入荣誉班的几率(odds)是男性(female=0)的exp(0.979948) = 2.66倍，或者说，女性的几率比男性高166%。
(2) math成绩：在female和read都相同的条件下，math成绩每提高1，进入荣誉班的几率提高13%(因为exp(0.1229589) = 1.13)。
(3)read的解读类似math。
5、包含交互相应的模型
拟合一个包含female、math和两者交互相应的Logistic回归，
模型为 ln(p/(1-p) =β0+β1*female+β2*math+β3*female *math.
所谓交互效应，是指一个变量对结果的影响因另一个变量取值的不同而不同。
回归结果如下(结果经过编辑)：
hon
系数β
标准误
P
female
-2.899863
略
0.349
math
.1293781
略
0.000
female*math
.0669951
略
0.210
截距
-8.745841
略
0.000
注意：female*math项的P为0.21，可以认为没有交互相应。但这里我们为了讲解交互效应，暂时忽略P值，姑且认为他们是存在交互效应的。
由于交互效应的存在，我们就不能说在保持math和female*math不变的情况下，female的影响如何如何，因为math和female*math是不可能保持不变的!
对于这种简单的情况，我们可以分别拟合两个方程，
对于男性(female=0)：
log(p/(1-p))= β0 + β2*math.
对于女性(female=1)：
log(p/(1-p))= (β0 + β1) + (β2 + β3 )*math.
然后分别解释。
注：本文大量参考这篇文章：http://www.ats.ucla.edu/stat/mult_pkg/faq/general/odds_ratio.htm
喜欢 (11)or分享 (0)