*以下部分是来自wiki:https://en.Wikipedia.org/wiki/point _ spread _ function的连续补充扩展
点扩展函数(point spread functionPSF )描述成像系统对点源或点对象的响应。 PSF的更常见术语是系统的脉冲响应，而PSF是聚焦光学系统的脉冲响应。 PSF通常可以认为是表示图像中未解决的对象的扩散斑。 功能上是成像系统光学传递函数的空间域形式。 是在傅里叶光学、天文图像、医学图像、电子显微镜、共焦激光扫描显微镜等三维显微镜和荧光显微镜等其他成像技术中有用的概念。 点目标的扩展/模糊程度是衡量成像系统质量的一个指标。 在荧光显微镜、望远镜、光学显微镜等非相干成像系统中，成像过程被线性系统理论描述为功率线性。 这意味着，两个物体a和b被同时拍摄时，结果等于独立拍摄的物体的总和。 换句话说，a的成像不受b的成像影响，反之亦然，这是由于光子的非交互性质。 复杂对象的图像可以看作实际对象和PSF的卷积。 但是，如果检测到的光是相干的，则图像在复数域中的形成是线性的。 可以记录灰度，然后引起cancellations或其他非线性效果。
介绍由于光学成像系统的线性特性：
在显微镜和望远镜中，物体的像可以通过将物体平面场表示为对二维脉冲函数的加权和，将像平面场表示为对这些脉冲函数的图像的加权和来计算。 这就是所谓的叠加原理(superposition principle )，适用于线性系统。 各个物体面(object-plane )脉冲函数的像被称为点扩散函数，反映这样的事实，物体面上的一个光的理想点位于成像平面上的有限区域(在数学和物理学的分支中，这些是网格函数)
物体被分割为不同强度的离散点物体时，图像按各点的PSF之和计算。 PSF通常完全由成像系统，即显微镜或望远镜决定，因此通过了解系统的光学特性可以描述整个图像。 这个过程通常用卷积方程表示。 在显微图像处理和天文学中，了解仪器PSF对解卷积恢复“原始”图像具有重要意义。 在激光束的情况下，PSF可使用高斯光束的概念数学建模。 如下图的Fig.1所示，对数学模型化的PSF和图像进行反褶积，将分辨率从2.2 mm提高到0.2 mm。
Fig.1PSF的应用：对数学模型PSF和低分辨率图像进行反褶积，提高了图像的分辨率。
理论点扩散函数可以独立于物平面上的位置并且将其称作位移不变性。 另外，如果在系统中没有变形，则像平面坐标通过放大m与物体平面坐标线性相关：
当图像形成系统生成逆转的图像时，图像平面坐标轴可以视为与目标平面坐标轴相反。 根据这两个假设，即PSF位移恒定且无畸变，计算图像平面卷积是一个简捷的过程。
在数学上，物体的平面区域可以表示为：
也就是说，作为加权脉冲函数之和，实际上这也只是显示了二维增量函数[2d增量函数functions]的移动特性，对此将在后面进行说明。 通过如上所述改写物体透射函数，使像平面区域与各个脉冲函数图像重合，即像平面的加权点扩展函数在数学上，图像表示为：
PSF(Xi/mu，yi/Mv )是脉冲函数) XOU，yov )的图像。 二维脉冲函数可以看作“棱柱”函数(squarepost ) function )的极限，如下图Fig.2所示。
Fig.2棱柱函数
假设物平面被分解为这样的正方形区域，每个区域都有自己的相关棱柱函数。 如果保持柱的高度h为1/w2，则当w为0时，柱的高度h为无限，体积(积分)在一个位置保持恒定。 由此，二维脉冲在()上式中暗示了屏蔽特性(sifting property )。 也就是说，二维脉冲函数) Xu，yv )对其他连续函数进行f ) u，v )积分时，将“筛选”脉冲位置f的值(即点) x，y )。
完美点源目标(point source object )的概念是PSF思想的核心，因此在进一步深入之前，需要在这方面花时间。 首先，自己
然界中没有完美的数学点源辐射器；这个概念完全是非物理的，只不过是一个用于建模和理解光学成像系统的数学构想（mathematical construct）。点源概念的效用来自于这样一个事实：二维物平面上的点源只能辐射出一种完美的等幅球面波（uniform-amplitude, spherical wave）——这种波具有完美的球形、向外运动的相位前沿，在球面上各处的强度都是一致的(参见魔幻的糖豆原理)。这种均匀球面波源如图Fig.3所示。我们还注意到，一个完美的点源辐射器不仅会辐射出传播平面波的均匀谱，而且还会辐射出指数衰减(消失)波的均匀谱，正是这些均匀谱导致了分辨率小于一个波长(见傅立叶光学)。这是从二维脉冲函数的傅里叶变换表达式得到的：二次透镜拦截了球面波的一部分，并将其重新聚焦到图像平面上的一个模糊点上。对于单个透镜，物平面中轴上点源在像平面上产生一个坚定的春天斑（Airy disc）PSF。这是通过以下方式实现的。可以看出(参见傅立叶光学、魔幻的糖豆原理、zldfd衍射)，平面物体辐射的场(或通过相互作用，收敛到平面图像上的场)通过傅立叶变换(FT)关系与其对应的源(或图像)平面分布有关。此外，圆面积上的均匀函数(在一个FT域中)对应于Airy函数（Airy function），在另一个FT域中对应于J1(x)/x，其中J1(x)是第一种一阶贝塞尔函数（Bessel function）。也就是说，一个均匀照明的圆形孔径通过一个汇聚的均匀球面波，在焦平面上得到一个Airy函数图像。因此，上图所示的会聚(部分)球面波在像平面上产生一个Airy圆盘。Airy函数的参数很重要，因为它决定了Airy圆盘的缩放(换句话说，圆盘在图像平面上的大小)。如果Θmax最大角的收敛波使镜头轴线,r是径向距离图像平面,和波数k = 2π/λ，λ=波长,然后亚里函数的参数是：kr tan(Θmax)。如果Θmax很小(只有一小部分可用的会聚球面波形成的图像，然后径向距离r，有非常大的总论点通风函数之前远离中央的位置。换句话说，如果Θmax很小，坚定的春天斑会很大(这只是海森堡FT对不确定原理的另一种表述，即一个域中的小范围对应另一个域中的大范围，这两个小范围通过空间带宽乘积相关)。由于这个，高放大系统，通常有小的值Θmax（通过阿贝正弦条件（ Abbe sine condition）），由于广泛的PSF，图像中可能有更多的模糊。PSF的大小与放大成正比，因此模糊在相对意义上并不更坏，但在绝对意义上确实更糟。
Fig.3 球面波经透镜截断
在上图中，我们可以注意到一个非常重要的事实，即透镜截断入射球波。为了测量透镜的点扩散函数或脉冲响应函数，我们不需要一个完美的点源，它可以在空间的所有方向上辐射一个完美的球面波。这是因为我们的镜头只有有限的(角)带宽，或有限的截距角（intercept angle）。因此，光源中任何超过透镜边缘角的角带宽(即，位于系统带宽之外)，基本上是浪费了源带宽，因为透镜无法截取它来处理它。因此，不需要一个完美的点源来测量一个完美的点扩展函数。我们只需要一个光源，它的角频宽至少与被测透镜的角带宽相同(当然，在这个角频区是均匀的)。换句话说，我们只需要一个由收敛(均匀)球面波产生的点源，其半角大于透镜的边缘角。
由于成像系统的固有分辨率有限，测量的PSFs并非没有不确定性。在成像技术中，需要用Apodization技术抑制成像光束的侧叶。对于高斯光束分布的传输成像系统，PSF的建模公式为：
其中k因子取决于截断率和辐照度水平，NA为数值孔径，c为光速，f为成像光束的光子频率，Ir为参考梁的强度，a为调整因子，是从对应的z平面上光线中心的径向位置。