循环码的多项式生成所述循环码的多项式系统循环
6.1循环码多项式描述6.2循环码的生成多项式6.3系统循环码6.4多项式运算电路6.5循环码的编码电路6.6循环码的解码6.7循环汉明码6.8缩短循环码(1)循环码的性质循环码是线性分组码的重要子类； 由于循环码具有优良的代数结构，可以用简单的反馈移位寄存器实现编码和伴随式计算，可以使用多种简单有效的解码方法； 循环码是研究最深入、理论最成熟、应用最广泛的线性组码。 )2)循环码定义进行循环码(n，k )线性组码的任意码向量c=(cn-1，Cn-2，…，C0 )的I次循环移位后，向量c ) I )=(cn-1-I，Cn-2-i，C0 ) 其通式是c(x )=Cn-1xn-1 Cn-2xn-2 … C0 )码多项式I次循环移位的表示法码多项式c ) x )的1次左移循环是c )1) x )，I次左移循环是c ) I ) ) 以p=3为模的剩馀类整体的模2运算规则如下。 若将编码向量c循环I次而得到的编码向量的编码多项式c(x )乘以x，再除以(xn 1 )，则根据上式可知，编码向量c(1) (x )与原来的编码多项式c ) x乘以x )除以xn 1 )的馀数式。 因此，c(x )的I次循环移位c ) I ) x )是c ) x )乘以xi )除以xn 1 )所得的馀数公式。 即，可以得出这样的结论，即，循环码的码矢量的I阶循环移位等于码多项式乘以xi，然后乘以模式xn 1 )。 )示例) 7、3 )循环码可以经历循环移位，例如任何编码向量(0011101 )，从而获得其他6个非零编码向量； 还可以通过将相应的编码多项式(x432-1 )与Xi ) I=1,2、2、…、6 )相乘并进一步计算模(x7 )来获得其他六个非零编码多项式。 移位过程和相应的多项式运算如表6.1所示。 )根据循环码生成矩阵循环码的循环特性，可以从一个码字的循环移位中获得其他非0码字。 (n，k )循环码的2k个码字中，取高位(k-1 )比特全部为0的码字g ) x )，设定为阶数r=n-k )，经过(k-1 )次循环移位，得到合计k个码字。 g(x )，XG (，xk-1g，这表明(n，k )循环码可由(其) n-k )次码多项式g ) x确定。 因此，g(x )产生(n，k )循环码，因此g ) x )称为码的产生多项式。 ((3)生成多项式与码多项式关系定理6.1 ) )循环码中，生成多项式g(x )是唯一的(n-k )次码多项式，且次数最低. 【证明】先证明(n，k )循环码序列中存在n-k )次码多项式。 这是因为在2k个块中，有相应代码多项式的次数为n-1-(k-1 )=n-k (n-k )次代码多项式为最低次代码多项式的块。 在g(x )不是最低阶的编码多项式的情况下，设更低阶的编码多项式为g ) ) x )，其阶数为(n-k-1 )。 g’) x )之前的k个位为0，即，所有k个信息位为0，但是由于监督位不为0，因此g ) x )为最低阶编码多项式，即gn-k必定为1。 如果g0=1，则经过(n-1 )次左移循环)得到比n-k )次低的符号多项式。 g(x )是唯一的(n-k )次多项式。 若存在另一个(n-k )阶码多项式，且g) x )，则由于线性码的封闭性，g ) x ) g) x )也必然成为一个码多项式。 g(x )和g ) ) x )的次数相同，它们的和式的(n-k )次项系数为0，所以g ) x )是) n-k )以下的次数的符号多项式，先证明g ) x )的次数最低
定理6.2 ) ) n，k )循环码中，各码多项式c(x )为g ) x )倍式； 分别是g(x )