线性系统和卷积积分接受一个输入并生成相应输出的实体为系统。 对于某个特定的系统，其输入、输出可视为同一变量的不同函数。
设想某一系统，当该输入为时，如果输出分别满足【叠加性】，则该系统为线性系统。 因此，也可以得到【均匀性/ 齐次性】。
对于一给定的线性系统，其输入与输出的关系是输入信号沿时间轴t位移，在一些情况下线性系统具有移不变性（非时变性），系统参数不随时间变化。
对于一个线性系统的输入输出，两者之间必然存在关系：
式(1-1)
其中，被称为线性系统的3358www.Sina.com/是输入单位冲激响应函数作为线性系统时的线性系统的输出响应。 式(1-1)被称为单位脉冲函数，一般由卷积积分表示。
* 的概念也可以根据以下变化关系来理解。
式(1-1)表示的连续一维卷积积分的运算式如下。
离散一维卷积：
连续二维卷积：
离散二维卷积：
最后，引入卷积积分的概念，根据相关和卷积的关系，有时可以简单地求解卷积函数
的内积的定义，对于上述两个矢量和，我们知道其内积的定义如下。
式(2-1)
内积的定义与向量的长度相关联。 例如，我们最熟悉的向量长度计算，其实也是内积计算：
式(2-2)
在研究傅里叶级数时，多使用复指数的概念，因此也需要对复向量空间进行讨论。
对于一个复数，其共轭用表示。 复数类型的计算公式为
式(2-3)
在复向量空间中，内积的定义中有小变化——若、以上两个向量的情况如下。
式(2-4)
相关
类似地，复向量空间中向量的长度可以表示为：
式(1-5)
共轭的目的是为了保证上的矢量长度为实数且非负。线性赋范空间内积运算内积空间定义了内积的矢量空间称为内积空间（
正交）。是垂直这一直观概念的推广。 如果内积空间中两向量的内积为0，则可以说它们是正交的。
正交是向量正交的扩展，其中每个函数可被视为无限维的向量。 对于函数集合，其正交性定义如下。
在这里，有一个非常重要的知识点：
n维向量空间中的所有向量可以用一系列正交基表示。 更特殊的是，将正交基单位化后，可以得到标准正交基，将向量空间中的所有向量写成比较简单的坐标形式。 那么，让我们把“函数”这个概念和“向量”这个概念融合起来。 如上所述，函数可以看作是“无限维”的向量。 相应地，给定一组由无限个两个正交函数组成的函数，同一空间中的任何函数总是用无限个函数组中函数的系数之和来表示。
用数学语言来说，如果是刚才叙述的定义域的“正交函数的集合”，则该定义域内的任何函数都可以表示如下。
正交函数集合的完整性表现如下