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算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度用于度量算法的执行时间。空间复杂度是度量算法所需的存储空间大小。
目录
时间的复杂性
1 .时间频率
2 .计算方法
3 .分类
空间复杂性
算法的时间复杂度(算例)
算法复杂性的渐近表示
大的o形标记
双符号
三标记
四小o标志
五例
一般排序算法的时空复杂度
时间复杂度1 .时间频率运行一个算法所需的时间，理论上无法计算，必须在机上运行测试才能知道。 但是，没有必要测试所有的算法。 你只需要知道哪个算法需要时间，哪个算法不需要时间。 另外，一个算法所需的时间与算法中语句的执行次数成比例，任何算法中语句的执行次数多都会花费时间。 算法中语句的执行次数称为语句频率或时间频率。 记为t(n )。
2 .计算方法1 .一般来说，由于算法的基本操作被重复的次数是模块n的任意一个函数f(n )，所以算法的时间复杂度为t ) n )=o ) f ) n ) )
分析：随着模块n的增大，算法运行时间的增长率与f(n )的增长率成正比，因此f(n )越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。
2 .计算时间复杂度时，首先找出算法的基本操作，然后基于相应的语句确定其执行次数，然后找出t(n )的同阶(其同阶为： 1、Log2n，n，nLog2n，n的平方，n的3次方，2的n次方，n！ 如果f(n )=在这个顺序中，t(n )f(n ) )求出极限，得到常数c，那么时间复杂度t(n )=o ) f ) n ) )
示例：算法：
for(I=1； i=n； I )
{
for(j=1； j=n； j )
{
c[ i ][ j ]=0； //该步骤属于基本操作执行次数： n的平方
for(k=1； k=n； k )
c[ i ][ j ]=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]； //该步骤属于基本操作执行次数： n的3次方次
() ) ) ) )。
() ) ) ) )。
有t(n )=n的平方n的3次幂，从上面括号中的相同顺序可以看出n的3次幂是t ) n的相同顺序
有f(n )=n的三次方，然后根据t(n )f(n ) )求出极限，得到常数c
该算法时间复杂度为t(n )=o ) (n的平方)
3 .分类按位数递增排列，常见时间复杂度如下。
常数阶数o(1)、对数阶数o ) O(log2n )、线性阶数o ) n )，
线性阶数o(nlog2n )、平方阶数o ) n2 )、立方阶数o ) n3 )、
次数k0(NK )，指数次数o ) 2n )。 随着问题规模n的增大，上述时间复杂度也会增大，算法的执行效率会降低。
空间复杂度与时间复杂度相似。 空间复杂度是算法在计算机中运行时所需的存储空间度量。 记为：
s(n )=o ) f ) n ) )
一般来说，我们将介绍除了普通内存开销之外的辅助存储单元的规模。
算法的时间复杂度(算例)算法的时间复杂度
定义：如果某个问题的规模为n，则求解该问题算法所需的时间为t(n )，其为n的某个函数(t ) n )称为该算法的“时间复杂性”。
当输入量n逐渐增大时，时间复杂性的极限情况称为算法的“渐近时间复杂性”。
我们经常使用大的o表示法来表示时间的复杂性。 请注意，这是某种算法的时间复杂性。 大o只是说有上界，从定义来看如果是f(n )=o ) n )，那么很明显f ) n )=o ) n^2成立
)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。
“大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。
这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。
O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;
以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。
O(n^2)
2.1. 交换i和j的内容
sum=0； （一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n次）
for(j=1;j<=n;j++) （n^2次）
sum++； （n^2次）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)
2.2.
for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1; ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++; ②
}
解：语句1的频度是n-1
语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).
O(n)
2.3.
a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b; ③
b=a; ④
a=s; ⑤
}
解：语句1的频度：2,
语句2的频度： n,
语句3的频度： n-1,
语句4的频度：n-1,
语句5的频度：n-1,
T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
O(log2n )
2.4.
i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解： 语句1的频度是1,
设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值f(n)= log2n,
T(n)=O(log2n )
O(n^3)
2.5.
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,…,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+…+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+…+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).
我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。
下面是一些常用的记法：
访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。
指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。
算法复杂度的渐近表示法一个算法的时间复杂度，指算法运行的时间。
假设数据输入规模是n，算法的复杂度可以表示为f(n)的函数
一 大O记号假设f(n)和g(n)的定义域是非负整数，存在两个正整数c和n0，使得n>n0的时候，f(n)≤c*g(n),则f(n)=O(g(n))。可见O(g(n))可以表示算法运行时间的上界。O(g(n))表示的函数集合的函数是阶数不超过g(n)的函数。
例如：f(n)=2*n+2=O(n)
证明：当n>3的时候，2*n +2<3n，所以可选n0=3,c=3，则n>n0的时候，f(n)<c*(n)，所以f(n)=O(n)。
现在再证明f(n)=2*n+2=O(n^2)
证明：当n>2的时候，2*n+2<2*n^2，所以可选n0=2,c=2,则n>n0的时候，f(n)<c*(n^2)，所以f(n)=O(n^2)。
同理可证f(n)=O(n^a)，a>1
二 Ω记号Ω记号与大O记号相反，他可以表示算法运行时间的下界。Ω（g（n））表示的函数集合的函数是所有阶数超过g(n)的函数。
例如：f(n)=2*n^2+3*n+2=Ω(n^2)
证明：当n>4的时候，2*n^2+3*n+2>n^2，所以可选n0=4,c=1,则n>n0的时候，f(n)>c*(n^2)，所以f(n)=Ω(n^2)。
同理可证f(n)=Ω(n),f(n)=Ω(1)
三 Θ记号Θ记号介于大O记号和Ω记号之间。他表示，存在正常数c1,c2,n0，当n>n0的时候，c1*g(n)≤f(n)≤c2*g(n)，则f(n)=Θ(g(n))。他表示所有阶数与g(n)相同的函数集合。
四 小o记号f(n)=o(g(n))当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)≠Ω(g(n))。也就是说小o记号可以表示时间复杂度的上界，但是一定不等于下界。
五 例子假设f(n)=2n^2+3n+5，
则f(n)=O(n^2)或者f(n) = O(n^3)或者f(n)=O(n^4)或者……
f(n)=Ω(n^2)或者f(n)=Ω(n)或者f(n)=Ω(1)
f(n)=Θ(n^2)
f(n) = o(n^3)或者f(n)=o(n^4)或者f(n)=o(n^5)或者……
注：n^2表示n的平方，以此类推。
常见排序算法时空复杂度
排序法
最差时间分析平均时间复杂度稳定度空间复杂度冒泡排序O(n2)O(n2)稳定O(1)快速排序O(n2)O(n*log2n)不稳定O(log2n)~O(n)选择排序O(n2)O(n2)稳定O(1)二叉树排序O(n2)O(n*log2n)不一顶O(n)插入排序
O(n2)O(n2)稳定O(1)堆排序O(n*log2n)O(n*log2n)不稳定O(1)希尔排序OO不稳定O(1)