最长上升子序列LIS算法实现长上升(LIS )最长上升)子序列有o(n*logn )和o ) n^2两种算法的复杂度。 在上述算法中，如果以朴素的顺序进行D1.Dlen中的搜索，则为了共享o(n )个要素需要计算，如果每次计算的复杂度为o ) n )，则算法整体的时间复杂度为o ) n^2)，为原算法但是，由于D的特点(2)，用D进行搜索时，可以使用二分搜索高效进行，整个算法的时间复杂度降低到o(nlogn )，提高非常明显。 需要注意的是，d在算法结束后记录的不是符合题意的最长上升子序列！ 算法还可以扩展到整个最长子序列问题。
有o(n*logn )和o ) n^2)两种算法
o(n )2)算法的分析如下
((a )1)……a ) n )中保存的是输入的数) ) ) ) ) ) ) ) ) )。
1、对于a[n]来说，因为它是最后的数，所以从a[n]开始寻找，只存在长度为1的不下降的子序列。
2、从a[n-1]寻找，有以下两种可能性。
(1)在a(n-1 ) a ) n )的情况下，存在长度为2的不下降的子序列a(n-1 )、a ) n )。
)2)在a(n-1 ) a ) n )的情况下，存在长度为1的不下降子序列a(n-1 )或a ) n )。
3、一般从a[t]开始，此时，最长不下降的子序列应该通过以下方法求出。
在a[t 1]，a[t 2]， a[n]中，找出大于a[t]且最长的不下降的子序列，作为其后继。
4、为了算法上的需要，定义数组：
d:array [1.n，1.3] of integer；
d[t，1]表示a[t]
d[t，2]表示从I的位置到达n的最长的不下降子序列的长度
d[t，3]表示从I的位置起最长不下降的子序列的下一个位置
最长不下降子序列的o(n*logn )算法
首先，回顾经典的o(n )2)的动态规划算法，a(t )表示排列中的第t个个数，f ) t )表示从1到t区间中以t结尾的最长上升部分系列的长度，初期时f ) t )=0) t=1，f ) t 有动态规划方程式。 F[t]=max{1，f [ j ]1} (j=1，2，t - 1，且A[j] A[t] )。
现在，让我们仔细考虑一下计算F[t]时的情况。 假设有两个元素A[x]和A[y]，你会满意
(1) xyt )2) A[x] A[y] A[t] (3)3) F[x]=F[y]
此时，无论选择F[x]还是选择F[y]，都可以得到相同的F[t]值，但是在最长上升子串的这个位置，应该选择A[x]还是A[y]？
很明显，选择A[x]比选择A[y]更好。 由于条件(2)，如果在A[x 1] . A[t-1]的段落中存在A[z]，A[x] A[z] A[y]，则得到比选择a[y]更长的上升子序列。
根据条件(3)，可以得到根据(f ) )的值进行分类的启示。 对于F[]的每个值k，只要保持满足F[t]=k的所有A[t]中的最小值即可。 假设D[k]记录此值。 即d[k]=min{a[t]}(f[t]=k )。
请注意D[]的两个特征。
)1) D[k]的值在整个计算过程中不会单调上升。
)2) d ) )的值是有序的，也就是d(1) d )2) d )3)…d ) n )。
使用D[]，可以得到另一种计算最长上升子串长度的方法。 将现在求出的最长上升部分列的长度作为len。 首先判断A[t]和D[len]。 在A[t] D[len]的情况下，如果将A[t]连接到D[len]，则len=len 1，D[len]=A[t]； 否则，在D[1].D[len]中，找到最大的j，满足D[j] A[t]。 设k=j 1，则有D[j] A[t]=D[k]，如果将A[t]连接到D[j]，则得到更长的上升子序列，同时更新D[k]=A[t]。 最后，len是要求的最长上升子序列的长度。
在上述算法中，如果按照朴素的顺序搜索用D[1].D[len]进行搜索，则为了共享o[n]个要素需要计算，如果每次计算的复杂度为o[n]，则整个算法的时间复杂度为O(n^2 但是，由于D[]的特点(2)，我们在D[]中搜索时，可以使用二分搜索高效地进行，整个算法的时间复杂度降低到了o ) O(nlogn )，得到了非常显著的提高。 需要注意的是，D[]在算法结束后记录的不是符合题意的最长上升子序列！
该算法还可以扩展到整个最大长度序列问题，但整个算法的难点在于二分搜索的设计，需要密切关注。
用最长上升子串LIS算法实现最长上升子串问题是各种信息学竞赛中的常见题型，也常用作介绍动态规划算法的引理。 笔者就今后POJ中出现的这些问题进行总结，介绍解决LIS问题的两种常用算法(n^2)和(nlogn )。
给出问题的说明：是序列a-1
,a2,a3,a4,a5,a6,a7....an,求它的一个子序列（设为s1,s2,...sn），使得这个子序列满足这样的性质，s1<s2<s3<...<sn并且这个子序列的长度最长。输出这个最长的长度。（为了简化该类问题，我们将诸如最长下降子序列及最长不上升子序列等问题都看成同一个问题，其实仔细思考就会发现，这其实只是<符号定义上的问题，并不影响问题的实质）例如有一个序列:1 7 3 5 9 4 8,它的最长上升子序列就是 1 3 4 8 长度为4.
算法1(n^2):我们依次遍历整个序列，每一次求出从第一个数到当前这个数的最长上升子序列，直至遍历到最后一个数字为止，然后再取dp数组里最大的那个即为整个序列的最长上升子序列。我们用dp[i]来存放序列1-i的最长上升子序列的长度，那么dp[i]=max(dp[j])+1,(j∈[1, i-1]); 显然dp[1]=1,我们从i=2开始遍历后面的元素即可。
下面是模板：//最长上升子序列(n^2)模板
//入口参数：1.数组名称 2.数组长度（注意从1号位置开始）
template<class T>
int LIS(T a[],int n)
{
int i,j;
int ans=1;
int m=0;
int *dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
for(i=2;i<=n;i++)
{
m=0;
for(j=1;j<i;j++)
{
if(dp[j]>m&&a[j]<a[i])
m=dp[j];
}
dp[i]=m+1;
if(dp[i]>ans)
ans=dp[i];
}
return ans;
}
算法2(nlogn):维护一个一维数组c，并且这个数组是动态扩展的，初始大小为1，c[i]表示最长上升子序列长度是i的所有子串中末尾最小的那个数，根据这个数字，我们可以比较知道，只要当前考察的这个数比c[i]大，那么当前这个数一定能通过c[i]构成一个长度为i+1的上升子序列。当然我们希望在C数组中找一个尽量靠后的数字，这样我们得到的上升子串的长度最长，查找的时候使用二分搜索，这样时间复杂度便下降了。
模板如下：//最长上升子序列nlogn模板
//入口参数:数组名+数组长度，类型不限，结构体类型可以通过重载运算符实现
//数组下标从1号开始。
/**//BEGIN_TEMPLATE_BY_ABILITYTAO_ACM
template<class T>
int bsearch(T c[],int n,T a)
{
int l=1, r=n;
while(l<=r)
{
int mid = (l+r)/2;
if( a > c[mid] && a <= c[mid+1] ) return mid+1; // >&&<= 换为: >= && <
else if( a < c[mid] ) r = mid-1;
else l = mid+1;
}
}
template<class T>
int LIS(T a[], int n)
{
int i, j, size = 1;
T *c=new T[n+1];
int *dp=new int[n+1];
c[1] = a[1]; dp[1] = 1;
for(i=2;i<=n;++i)
{
if( a[i] <= c[1] ) j = 1;// <= 换为: <
else if( a[i] >c[size] )
j=++size; // > 换为: >=
else
j = bsearch(c, size, a[i]);
c[j] = a[i]; dp[i] = j;
}
return size;
}