本文介绍了稳态误差(steady-state error )和系统类型。 这是经典控件中最令人关心的系统性能指标之一。 经典控制过去主要研究regulation问题，稳态误差的大小是一个非常重要的指标。
我们研究regulation问题时，reference input是常数。 plant受到的扰动往往也是常数偏差。 即使在通常的跟踪问题中，reference input也经常保持在接近常数的水平上，或者可以用多项式(polynomial )来记述。
以电梯为例，在未到达指定楼层之前，电梯中有ramp function作为输入，可以使电梯具有一定的速度。 当然也可以保持一定的加速度。
这样，研究多项式描述的参考输入对系统的稳态误差是有意义的。
定义了系统类型(type )，是系统最能跟踪的信号多项式阶。 例如，step function是0次多项式，ramp function是1次多项式，acceleration function是2次多项式。
跟踪问题的系统类型
对于“单位反馈系统”，plant的传递函数如下
另外，控制器的传递函数是开环传递函数，将plant的噪声和sensor的噪声设为0，定义误差是输入端和输出端之差，其Laplace变换为e(s ) :
如果e(s )稳定，则能够应用Final Value Theorem确定对数多项式信号
稳态误差：
以step function为例，
中选择所需的族。 如果开环传递函数没有0极点，即积分器，稳态误差为：
其中定义的
是定位常数。 当系统的开环传递函数只有一个积分器时
那样的话，可以如下改写上式
其中
中选择所需的族。 也就是说，我们分离，使给定的时间成为常数。 在这种情况下，系统为Type 1，I型系统。 有多个积分器时
那很明显如果
于是，稳态误差为0。 如果
稳态是常数，系统是Type k。 否则
系统无法跟踪这个多项式信号，最终将其发散。
定义系统类型的意义在于，如果在不删除开环系统的0极点的情况下系统参数发生更改，系统将跟踪并保持相同类型的多项式信号。 在单位反馈下，系统类型是系统参数变化的稳健特性。 鲁棒性是采用单位反馈的主要原因(请自行验证非单位反馈是否具有这样的特性。 ) )
Regulation问题的系统类型
针对regulator，考察扰动对系统稳态误差的影响。
如果将参考输入设为0，则输出误差应该为0。 但是如果有噪声的话，此时的输出被定义为误差
Laplace将转换为。
可以同样地定义
很明显
于是，稳态误差为0。 如果稳定状态为常数，则系统为type k型。 否则，系统响应会发散。 总结
假设系统闭环系统是稳定的，对不同多项式信号的稳态误差可以通过终值定理计算出来。 基于系统可以最多跟踪的多项式degree，定义其型号type。 系统模型是系统鲁棒性的表现。
参考
[1] G.F. Franklin，J.D. Powell，A.Emami-Naeini，feedbackcontrolofdynamicsystems，7th Edition，2014，Pearson
[2] gddyj，自动控制原理(第六版)，2013，科学出版社
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