威尔逊定理由初等数论定义，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。 也就是说，只有在时且p为素数时，(p -1 )！ -1(modp )但由于阶乘呈爆炸式增长，其结论对实际操作意义不大，但由于计算机运算能力广泛应用，也可以辅助数学推导。
证明威尔逊定理的充分性
如果“p”不是素数，则当p=4时，明显(p-1 )！ 62 ) modp )在p4时，若p不是完全平方，则存在两个不同的系数a，且b成为ab=p，则(p-1 )！ nab0(modp )； 如果p是完全平方数p=k2，则因为p4，所以k2，k，2kp，(p-1 )！ n(k*2k ) ) 2nk20 ) modp )。
必要性
当p为素数时，集合a={ 1，2，3，…p -1}； a是模式p的乘法的简并，即构成任意的iA，存在jA使其成为：
(i j ) )1) modp )那么，a的元素正好是两个或两个配对吗？ 不，不是那样的
x21(modp ) ) )。
求解：x1(modp )或xp-1 ) modp )
剩下2、2组； 因此
(p - 1 )！ 1 () (p-1 ) )-1 ) modp ) )。
代码证明import java.math.BigInteger； import java.util.Scanner； 请输入publicclasswilsontheorem { publicstaticvoidmain (string [ ] args ) {System.out.println ('素数。 )； sannerin=newscanner(system.in； int p； wile(true ) try (p=in.nextint )； if (！ judge(p ) ) throw new Exception )； bigintegerfactorial=newbiginteger ('1)； for(intI=2； i p； I ) ) factorial=factorial.multiply (newbiginteger (I ' ) )； } factorial=factorial.add (newbiginteger ('1)； system.out.println (() () ) (p-1 )！ 1=' factorial； bigintegerresult=factorial.divide (newbiginteger (p ' ) )； system.out.println (() () ) (p-1 )！ 1除以p得到的值p=' result； }catch(exceptione ) {System.out.println )输入错误。 请重新输入！' )； 连续； }/****如何判断是否为素数* * @ param num * @ return */publicstaticbooleanjudge (intnum ) {int i； for(I=2； i=num/2； I ) if(num%I==0) break； }return i num/2？ 真：假； }