时间序列分析：二阶自回归过程
Author: nex3z
2019-07-13
1 .定义
对于二阶自回归过程$ar(2) $
begin{equation}
x _ t=phi _ 1x _ { t-1 }phi _ 2x _ { t-2 } e _ t _ tag {1}
end{equation}
假设$e_t$独立于$Y_{t-1}、Y_{t-2}和cdots$。 公式$(1) $也可以表示为
begin{equation}
x _ t phi _ 1x _ { t-1 } phi _ 2x _ { t-2 }=e _ t
end{equation}
也就是说
begin{equation}
(phi ) b ) x_t=e_{t} ) tag{2}
end{equation}
其中
begin{equation}
(phi ) b )=1(phi_1b ) phi_2b^2) tag{3}
end{equation}
$ar(2) $的特征方程为$(phi ) b )=0$
begin{equation}
1 phi _ 1b phi _ 2b ^2=0 tag {4}
end{equation}
上述特征方程为二次方程，始终有两个跟随(包括复根)。
2.$ar(2) $流程便捷性
在$e_t$独立于$Y_{t-1}、Y_{t-2}、cdots$的条件下，仅当$AR$特征方程的根的绝对值(模)大于$1$时这个结论不做任何改变就可以推广到$p$阶的情况。
在式$[1]$所示的$ar[2]$过程中，容易找到二次特征方程$[4]$的两个根是
begin{equation}
frac {phi _1 pmsqrt {phi _1^ 24phi _2} {-2phi _2}tag {5}
end{equation}
为了满足平稳的条件，要求公式$(5) $的绝对值大于$1$。 为了使平稳性成立，只有在满足以下三个条件时
begin{equation}
(phi_1) phi_2(QQuad ) phi_1) phi_2)1) QQuad|) phi_2|1) tag{6}
end{equation}
公式$(6) $所示的条件是$ar ) $模型的稳态条件。
3.$ar(2) $进程的自相关函数
公式$(1) $记述的$ar ) ) $过程是平稳的，且假设平均值为零，公式$ ) )1) $等号的两边乘以$X_{t-k}$请求期望的话
begin{equation}
gamma _ k=phi _1 gamma _ { k-1 }phi _2 gamma _ { k-2 }， QQ _ adk=1，2，3， cdots 3
end{equation}
如果表达式$(7) $的等号两侧除以$(gamma_0$ )
begin{equation}
rho _ k=phi _1 rho _ { k-1 }phi _2 rho _ { k-2 }， QQ _ adk=1，2，3，cdots tag{8}
end{equation}
公式$(7) $或公式$(7) $称为Yule-Walker方程。 如果$k=1$，则有$rho _1=phi _1 rho _0 phi _2 rho _ {-1 } $，$rho_0=1$，$_rho_
begin{equation}
rho _1=frac {phi _1} { 1 phi _2}tag {9}
end{equation}
$k=2$时，有
begin{equation}
rho _2=phi _1 rho _1 phi _2 rho _0=frac {phi _2(1 phi _2) phi_1^2}{}
end{equation}
通过表达式$(8) $，可以看到如果知道$phi_1$和$phi_2$，就可以计算自相关值。
$rho_k$的更常见计算方法取决于特征方程$ 1 phi _ 1b phi _ 2b ^2=0$的根，使用$G
_1, G_2$ 表示特征根的倒数，有begin{equation}
G_1 = frac{phi_1 – sqrt{phi_1^2 + 4phi_2}}{2}, qquad G_2 = frac{phi_1 + sqrt{phi_1^2 + 4phi_2}}{2}
end{equation}
如果 $G_1 neq G_2$ (即 $phi_1^2 + 4 phi_2^2 > 0$)，可以证明有
begin{equation}
rho_k = frac{(1 – G_2^2)G_1^{k+1} – (1 – G_1^2)G_2^{k+1}}{(G_2 – G_1)(1 + G_1G_2)}, qquad k = 0, 1, 2, cdots tag{11}
end{equation}
如果特征根时复数(即 $phi_1^2 + 4 phi_2^2 < 0$)，则 $rho_k$ 可以表示为
begin{equation}
rho_k = R^k frac{sin(Theta k + Phi)}{sin(Phi)}, qquad k = 0, 1, 2, cdots tag{12}
end{equation}
其中 $R = sqrt{-phi_2}$，$Theta$ 和 $Phi$ 可以由 $cos(Theta) = phi_1 / (2sqrt{-phi_2})$，$tan(Phi) = (1 – phi_2) / (1 + phi_2)$ 解得。
如果特征根相等(即 $phi_1^2 + 4 phi_2^2 = 0$)，则有
begin{equation}
rho_k = bigg( 1 + frac{1 + phi_2}{1 – phi_2} bigg) bigg( frac{phi_1}{2} bigg)^k, qquad k = 0, 1, 2, cdots tag{13}
end{equation}
由式 $(11)$、$(12)$、$(13)$ 可以看到，$rho_k$ 的可以有各种形状，但始终随滞后阶数 $k$ 的增加而指数递减。当特征方程有复数根时，$rho_k$ 表现为具有阻尼因子 $R$($0 leq R leq 1$)、频率 $Theta$ 和相位 $Phi$ 的阻尼正弦波动曲线。
当 $theta_1 = 0.5, theta_2 = 0.25$ 时，有两个相异的实特征根，ACF 图像如图 1。
ar
acf(ar)
图 1
当 $theta_1 = 1, theta_2 = -0.25$ 时，有两个相同的实特征根，ACF 图像如图 2。
ar
acf(ar)
图 2
当 $theta_1 = 1.5, theta_2 = -0.8$ 时，有两个负特征根，ACF 图像如图 3。
ar
acf(ar)
图 3
4. $AR(2)$ 过程的方差
由式 $(1)$ 计算 $AR(2)$ 过程的方差
begin{align}
gamma_0 &= mathrm{Var}(X_t) = mathrm{Var}(phi_1 X_{t-1} + phi_2 X_{t-2} + e_t) \
&= mathrm{Var}(phi_1 X_{t-1} + phi_2 X_{t-2}) + mathrm{Var}(e_t) \
&= mathrm{Var}(phi_1 X_{t-1}) + mathrm{Var}(phi_2 X_{t-2}) + 2 mathrm{Cov}(phi_1 X_{t-1}, phi_2 X_{t-2}) + mathrm{Var}(e_t) \
&= phi_1^2 gamma_0 + phi_2^2 gamma_0 + 2 phi_1 phi_2 gamma_1 + sigma_e^2 \
&= (phi_1^2 + phi_2^2)gamma_0 + 2 phi_1 phi_2 gamma_1 + sigma_e^2 tag{14}
end{align}
在式 $(7)$ 中令 $k = 1$，有 $gamma_1 = phi_1 gamma_0 + phi_2 gamma_{-1}$，又由 $gamma_{-1} = gamma_{1}$，故有
begin{equation}
gamma_1 = phi_1 gamma_0 + phi_2 gamma_1 tag{15}
end{equation}
结合式 $(14)$、$(15)$，解得
begin{align}
gamma_0 &= frac{(1 – phi_2)sigma_e^2}{(1 – phi_2)(1 – phi_1^2 – phi_2^2) – 2phi_2phi_1^2} \
&= frac{1 – phi_2}{1 + phi_2} cdot frac{sigma_e^2}{(1 – phi_2)^2 – phi_1^2} tag{16}
end{align}