文章目录1凸集1.1凸集1.1线性空间1.2欧氏空间1.3凸集1.4仿射1.4.1仿射函数1.4.2线性函数1.4.3仿射变换2凸函数2.1描述2.2定义2.3例3凸优化4凸二次规划5参考文献
1凸集1.1直线空间
v是非空集，f是域，在其上定义加法和乘方运算，并且如果满足8个法则，集合v被称为域f上的线性空间。
1.2欧氏空间在域r上的n维线性空间上定义内积运算，当满足4个定律时，该n维线性空间称为n维欧氏空间。
1.3凸集合位于欧几里得空间，对于集合内的各对点，当连接该点的直线段上的各点也在该集合内时，将该集合称为凸集合(convex set )。 例如球体是凸集。 中空或有凹陷的集合不是凸集合。 例如五角星不是凸集，而是叫凹集。 特别是在实数域r或复数域c上的向量空间中，连接集合s的任意2点的线上的点都在s内时，将集合s称为凸集合。
1.4仿射1.4.1仿射函数仿射函数是最高阶为1的多项式函数，常见的形式为f(x )=Ax b，a为mk次矩阵，x为k维列向量，b为m维列向量，f为距离k维向量空间的m维向量
1.4.2线性函数常数项为零的仿射函数称为线性函数。 典型的格式为f(x )=Ax。
1.4.3仿射变换Rk到Rm的映射xAx b称为仿射变换(km时)或仿射映射(k=m时)。 如果f是仿射变换且s是凸集，则f(s )={f(x )|xS}是凸集。 相反，如果f是仿射变换，f(s )是凸集，那么s是凸集。
2如果凸函数2.1的描述函数的图像上的区域是凸集合，则该函数为凸函数。 请注意上方。 根据观察角度的不同，凹凸会相反。 例如，放在正方的茶碗是凸的，倒置的茶碗是凹的。
2.2定义若函数f的定义域dom f是凸集合，且满足f(x(1-) y )f ) x )1-) f ) y )。 其中x，ydom f且0==1。
2.3例(1)指数函数) f(x )=eax；
) )幂函数： f(x )=xa，x(r，a ) 1或a0；
(3)负对数函数) f(x )=-lnx；
(4)负熵函数；f(x )=xlnx；
(5)最大值函数) f(x )=max ) x1，x2，xn )。
3凸优化凸优化问题一般是最小化问题，通过给目标函数加负号可以使最大化问题成为最小化问题。
约束优化问题的一般形式如下。
假设f(x )的定义域为域f，mi ) x )的定义域为域mi，则可行域为d=域f域mi，即两者的交集。
目标函数f(x )为凸函数，可执行领域为凸集合时，即不等式制约中mi ) x )为凸函数，且等式制约中NJ ) x )为仿射函数时，该制约最优化问题称为凸最优化问题。 凸优化问题的局部最优解称为全局最优解。
4凸二次规划r和ai为n维实向量，bi为实数，I=1，2…，l，L 1，…L M。 关于以下约束优化问题：
当目标函数f(x )为二次函数，g为对称矩阵，不等式约束均为仿射函数时，上述约束最优化问题称为二次规划(quadratic programming )问题，即QP问题。
当f(x )中矩阵g为半正定矩阵时，上述QP问题被称为凸二次规划问题(convex quadratic programming )； 如果g是正定矩阵，则是严格凸二次规划问题。
当g为半正定矩阵，可行域非空且目标函数f(x )在可行域有下界时，该凸二次规划问题有全局最小值。 此外，当g为正定矩阵，可行域不为空，且目标函数f(x )在可行域有下界时，该严格凸二次规划问题有唯一的全局最小值。
5参考文献1、百度百科；
2、凸集、凸函数、凸优化和凸二次规划。
结束