Gram-Schmidt正交化在涉及矩阵的QR分解之前，必须先提到Gram-Schmidt方法，理论上QR分解是由Gram-Schmidt正交化推出的。 那么，什么是gramSchmidt正交化？
在三维空间中存在直角坐标系，其中任何一点由(x，y，z )坐标唯一地确定。 在该坐标系中，x、y、z三轴相互正交)。 那么，在n维欧式空间中展开的话，就是由n个线性无关的基向量组成的基集合，n维欧式空间的任意位置都可以用这个基线性来表示。
那么，引出另一个问题，如何得到两两个相互正交的正交基呢？ 此过程是gramSchmidt的正交化。 下简
简单推理gramSchmidt正交化方法的推导过程。 点是正交投影的思想。
现在是欧式空间的一套基础，我们想得到这一套的正交基础。
先令，那么怎么弄？ 可以将正交分解为，如下图所示。
这样就能得到。 因此。 So
那么呢？ 如下图所示，显然可以从同样的方法中获得。
这样就能得到。 展开为第j个正交向量可以获得以下结果：
以上就是求正交基的gramSchmidt正交化方法。
QR分解可以对无损矩阵a的列向量组执行gramSchmidt正交化以获得标准正交向量：
用矩阵来表示的话：
请注意，t=(tij )、A=)、Q=)，其中q是正交矩阵。 记住，A=QR，其中t的逆矩阵r仍然是上三角矩阵。
由此得到QR分解的定义：
对于n次方阵a，如果存在正交矩阵q和上三角矩阵r使得A=QR，则将该公式称为矩阵a的完全QR分解或正交三角分解。 (对于可逆矩阵a存在完全的QR分解。
综上所述，矩阵QR分解是通过gramSchmidt正交化推理的方阵分解形式，矩阵QR分解的计算方法也以gramSchmidt正交化为主。 通过gramSchmidt正交化求正交矩阵q，通过得到矩阵r。
这里提出了一种改进的计算方法，用于求解基于gramSchmidt正交化的正交矩阵q。 改进是在每次生成单位正交向量时，用后续向量减去它，然后拭除包含正交向量的部分。
实际上，对于不是方阵的m*n(mn )次矩阵a也有可能存在QR分解。 答A=QR。 此时，q为m*n次的半正交矩阵，r为n*n次上三角矩阵。 此时的QR分解并不完全(方阵)，所以对于被称为约化QR分解)的满秩矩阵a，一定会存在约化QR分解)。
另外，通过将矩阵a扩展为方阵，或者在矩阵r中添加零，也能够得到完全的QR分解。
参考资料：
《矩阵分析与计算》，ssdfh，新头发
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