本文主要参考了jldbwb的《高等微积分》。 为了内容的连续性，将第四篇总结推广的隐函数存在定理改写为：
Theorem1(隐函数存在定理的推广(是$f:(mathBF(r ) x_{n m} ) rightarrow ) mathBF ) r}^m$作为连续可微函数，$ (math BF { r } ^ a_{nm} ) $的雅可比矩阵的第$i_1，_cdots，I_m ) )的a_{n m}}$的雅可比矩阵的$mtimes m$的部分方阵。 如果此子矩阵是可逆的，则可以在$(a_1，) cdots，a_{nm} )附近定义$ ) _ { I _1} x _ { j _ n } )在$的函数$g$中，$ j _ 1j _ ) cdots，x_{i_m} ) $ .严格地说，$(a_{j_1}，_cdots，a_ )所在的begin{align*}，g(x_{j_1}，) x_{j_n} ) cap(u ) timesv.(end ) align*}remark1注意，$(x_{I_1}，x_{i_2}，) cdots，x _ { I $D$是$mathbf{R}^n$的子集，设为$f:Drightarrowmathbf{R}$和$g3360drightBF{r}$的leq I _ 1
$g(mathBF(x ) ) )的约束。 (mathBF )0) $中的$x(in(mathBF ) r}^n )，这样的约束决定了$d ) $中的所有区域都将稍微满足该约束，backslash D'$的所有点就是这里试图找到$f|D'$在区域$D'$中的极值。 其中$f|D'$表示函数$f$在区域$D'$中的限制。 $mathBF{x}=(mathbf{x_0}$是$f|D'$在$D'$上的极值点。 因为$g$为$mathbf{x_0}$，满足定理1的条件，所以我们点$mathBF{x_{0}
${displaystyle {j_1，cdots，j_{n-m}}bigcup{i_1，cdots，I _ m}={ 1，1
$g(mathBF(x_{0} ) )为0$，则$h ) p_{i_m}，) cdots，p_{j_{n-m}} ) ) p_{i_m}
${displaystylez=f(p_{j_1}，cdots，p_{j_{n-m}，h(p_{j_1} )，_cdots，p_{j_}
的极值问题，根据注
1,我们知道$p_{j_1},cdots,p_{j_{n-m}}$函数无关.为了求1的极值,我们有两种其实是完全一样的方案.但是,我愿意不劳辛辞地把它们通通写出来.我们先来介绍第一种.为了求1的极值,只需要令${displaystyle frac{partial z}{partial p_{j_1}}=0,cdots,frac{partial z}{partial p_{j_{n-m}}}=0.\\ (2)}$
根据复合函数的求导法则,可得$forall rin{1,cdots,n-m}$,我们有begin{align*}frac{partial z}{partial p_{j_r}}&=begin{pmatrix}frac{partial f}{partial p_{j_1}}&cdots&frac{partial f}{partial p_{j_{n-m}}}&frac{partial f}{partial p_{i_1}}&cdots&frac{partial f}{partial p_{i_{m}}}end{pmatrix}begin{pmatrix}
0\
vdots\
1\
vdots\
0\
vdots\
0\
frac{partial p_{i_1}}{partial p_{j_1}}\
vdots\
frac{partial p_{i_m}}{partial p_{j_1}}\
end{pmatrix}(n-m-1mbox{个}0,1mbox{位于第}rmbox{行.})\&=frac{partial f}{partial p_{j_{r}}}+sum_{k=1}^{m}frac{partial f}{partial p_{i_k}}frac{partial p_{i_k}}{partial p_{j_{r}}}.
end{align*}
于是条件2化为如下:$forall rin{1,cdots,n-m}$,
${displaystyle frac{partial f}{partial p_{j_r}}+sum_{k=1}^{m}frac{partial f}{partial p_{i_k}}frac{partial p_{i_k}}{partial p_{j_{r}}}=0.\\ (3)}$
第二种方案只不过是对第一种方案的符号简化:为了求1的极值,我们先令$mathbf{t}=(p_{j_1},cdots,p_{j_{n-m}})$.则式1化为
${displaystyle z=f(mathbf{t},h(mathbf{t})).\\ (4)}$
为了求式1的极值,只用让
${displaystyle frac{partial z}{partial mathbf{t}}=0.\\ (5)}$
根据复合函数的求导法则,式5即
${displaystyle frac{partial f}{partial mathbf{t}}+frac{partial f}{partial h(mathbf{t})}frac{partial h(mathbf{t})}{partial mathbf{t}}=0.\\ (6)}$
式6和方程组3是一样的.于是与其看繁琐的方程组3,我们不如来看式5.事情做到这一步,其实还没完,因为$frac{partial h(mathbf{t})}{partial mathbf{t}}$是很难知道的,因为我们很难确定$h$.幸运的是,根据隐函数定理,我们能继续求出$frac{partial h(mathbf{t})}{partial mathbf{t}}$.下面具体地来做.我们知道,
${displaystyle g(mathbf{x})=mathbf{0},}$
即
${displaystyle g(mathbf{t},h(mathbf{t}))=mathbf{0},}$
因此对两边对$mathbf{t}$求导,我们有
${displaystyle frac{partial g}{partial mathbf{t}}+frac{partial g}{partial h(mathbf{t})}frac{partial h(mathbf{t})}{partial mathbf{t}}=0.\\ (7)}$
把式7代入式6,我们得到
${displaystyle frac{partial f}{partial mathbf{t}}=frac{partial f}{partial h(mathbf{t})}(frac{partial g}{partial h(mathbf{t})})^{-1}frac{partial g}{partial mathbf{t}}.\\ (8)}$
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