向量空间：需要通过原点空间表示有很多向量，空间需要满足一定的规则，能够进行加法和乘方运算。 对数乘法和加法两种运算是闭合的。 向量的运算包括加法、乘法。 R 2 )二维向量(实向量) R 3 )由所有的三维实向量组成的向量空间R n )包含所有的n维向量，成分为实数
子空间：取一部分也满足对数乘法和加法两种运算封闭。 例如，通过R 2内原点的直线。 必须包含0向量。 或者R 2中只包含0向量的空间。 或者R 3只包含0向量的空间或通过原点的平面或通过原点的直线或其本身。 如果a是4*3维矩阵，则x是3维列向量，b是4维列向量。 矩阵的列空间：此列空间为R4子空间，引出AX=b :什么样的b能解这个方程？ b=0总是有解的。 而且，AX=b只有在b为各列的线性组合时才有解(只有在b属于a的列空间时才有解)。
矩阵的零空间： null space在此零空间为R3子空间，称为空间需要满足乘方和加法运算。 零空间中一定包含0向量。 零空间是向量空间a的零空间包含什么？ 包含AX=0的解。 最后可以证明矩阵的零空间是向量空间。 另一方面，ax=b(b不是0，其解x不能构成向量空间。 首先它不包含零向量，所以它肯定不是向量空间。 构造向量空间的方法：将几个向量线性组合得到子空间； 通过一个方程x满足特定条件也可以得到子空间。