本文描述的线性代数的四个基本空间http://www.Sina.com/http://www.Sina.com /可以认为同一个东子空间(subspace )是一个超平面，根据线性空间的定义，0元素如果不在超平面上，则在子空间中
上式不是子空间。 因为
当然直线是平面的子空间，直线、平面当然是三维空间的子空间。
Vector space频域是有限带宽的复空间信号x是子空间：
正确理解子空间的直和, subspace, linear spaceSpan了吗？
span { s }={ setofallpossiblelinearcombinationsofvectorsins }
例1the set
矢量集合是一条直线，但怕黑的巨人的子空间是平面。
direct sum
因此，集合union、集合加法和sum不相等。 此例的并集是点和y轴，sum是越过(1，0 )平行y轴的一条直线。
例2
例3
或正交完成(orthogonal complement ) )。
我知道代数候补不是集合补集。
t和s是R2的代数补充，t和q也是R2的代数补充，
因为，
Two subspaces are called disjoint when the only vector common to both is 0. When two subspaces S and T are disjoint, then their sum is called a direct sum (denoted S T ).正交补的定义：
代数补algebraic complements
正交补(orthogonal complement)
以上，得到了向量的正交补充，以及唯一重要的向量分解思想。
上述证明：
p是子空间s的射影算子
例4
根据定义，的正交互补只有0个元素。
证明：S是子空间，那么其正交补也是子空间。
正交补的重要性质固定FIR滤波器响应，其中h、x是复空间中的任意值，并且所有可能的信号输出y是子空间：
因此，y属于r(h )，其存在信号x，由卷积得到y。 这对于用反卷积求x有应用意义。
列空间还有一个典型的应用关于方程组求解。 关于Ax=b，显然方程组有解
上述定理当然必须是mn。 也就是说，方程的个数不能多于未知数。 否则，没有解也可能有解； 必须排满等级。 否则，就会出现，解决不了。
a满秩，必有解，含无限多解。 列必须在行以上才能满足等级。
a充满秩序，没有解或有唯一的解。 只有行在列以上，可能会排满。
如果行满秩且行少于列，则解系统一定有自由变量。 无限多解。
秩已满，存在唯一映射，且b不为0。 即，a的零空间n(a )={0}
对于Ax=b的解结构可以称为仿射子空间
列空间Range space: Subspaces Associated with Linear Maps
例5
射影是唯一矩阵p是射影算子，Px是射影子空间s的射影，还是其本身？ 子空间s的射影算子p是矩阵，正交插值上的射影=0。 子空间s的射影算子p是正交补的射影算子，因此是正交补的射影算子。
投影复空间可以分解为矩阵a的列空间矩阵a的列空间的正交补，但矩阵a的列空间的正交补=矩阵a转置的零空间。
投影的重要性质矩阵乘法如何用命中码相加表示？
矩阵的转置如何用元素表示？
然后呢