我们对对数的认识大致经历了自然数——整数——有理数——实数的过程。 当今高等数学教材中研究的函数都在实数范围内，极限理论也是基于实数系的连续性。 其实在漫长的历史进程中，人们对实数的认识一直很模糊。 在柯西、德金、康托尔等人的发展下，实数理论得到了完善。 让我们来看看实数系的基本定理。 (也称为完整性或连续性定理) )这些定理是等价的。
一(确定界存在原理)不是空的而是上(下)界的数集中一定是上(下)的)确定界。 对于r中的一个数集s，如果存在数m(L )，则对于所有
另外，若均有(或)，则将s称为上界)或下界)的某一数据集，将m ) l )称为s的一个上界(下界)。 同时上下界称数集有界。 确定界(最小上界或最大下界称为上下确定界。 表记为
或证明：
(任何数都可以在整数部加上小数部来表示) )小数部用无限小数表示，没有小数位的补数0 ) )。
因为我知道PS:1=0.999999 .
也就是说，同一小数有两种表示方法。 这里采用前者。 此时，小数的显示是唯一的。
设置
如果有上界而不是天空，我们现在必须证明
有上界。 大致的想法是这样的。 我们要找到更确切的边界，怎么找？ 把他每个数字的数量最大化就可以了。 我们应该
的数都写为小数时，取所有整数部分，从中取最大的(一定有最大的)。 没有它就没有上界)，可以记住，构建的子集。 此集合中所有数的整数部分为。 那我们现在在做什么呢？ 取出中整数部分最大的东西进行了构筑。 那是现在所属但不属于的数，整数部分一定很小。 然后呢
中，记为取得第一个小数最大值的人。 然后，将中整数部分取出用于构建子集。 这样可以保证整数部分最大，第一个小数最大。 ……如果你一直做，你可以保证第n个小数是最大的。 如果一直做的话，可以保证现在的那个小数是最大的。 这样我们就得到了数
另外，还得到了一系列的集合，现在我们来证明
确有把握。 怎么证明？ 只需要证明两件事(1)那就是上界； )2)它是最小上界。
令
(1) ) ) )。
只有最大的情况和不最大的情况两种。 最大的情况下最大，如果考虑到有，这时的
如果不是最大的话，就有
所以
所以，是上界。 )必须证明
最小上界。 减去一点，就是证明不是上界。 也就是说，是我们而不是上界采取的
、例如拿、拿
然后整数部分，如果上位小数全部相同的话
也就是说，这样做的话，由于不是上界，所以证明了最小上界。 因此，我们从几次非空有上界发表了有上确定界，同样可以证明有下界就一定有下确定界。
二、单调有界收敛原理：数列单调有界必定收敛。 说明：这里的有界不一定上下界同时，而是单调相对的。 直观地看，如果数列单调增加，有上界就能保证收敛。 如果是单调减少，为了保证收敛就需要下界。 在、
证明：设定
单调增加，有上界。 从确定界的存在原理中得到，以上确定界。 以下证明这是数列的极限。 因为
如果是上确定界的话，当时有； 因为
因为是的一个上界，所以对一切，都有。 所以，当n足够大时，从夹入性中得到。 同样，可以证明单调递减有下界且一定收敛。
三.闭区间定理(Cantor准则)。 我们先看看什么是闭区间集。
设置闭区间列
具有以下两个性质的，将其称为闭区间覆盖。 (1) ) ) )。
(2) ) ) )。
定理：若
如果是闭区间集，实数系存在唯一点，证明了从定义上看闭区间集应该有以下性质。
所以
单调递增且有上界，单调递减且有下界，且两数列极限相同，这一点满足条件。 以下证明唯一性：假设另一个数
满意了，那么就拿下极限，得了
于是，唯一性证明完成了。 四. Bolzano-Weierstrass定理(致密性定理) :
有界数列必有收敛子列。说明：从之前第二个定理看出，有界+单调的条件方能推出数列收敛，而只有有界的情况下，则没有那么强的结论，只能得到稍微弱一些结论。
证明：设
有界， ，即现在将
分为 ，必然有一个区间包含了 的无穷多项，取其为 ，再将这个区间分成两个小区间，其中必然有一个包含 无穷多项，再将它记为 ...... ... ,一直做下去，我们得到一个闭区间套
，由闭区间套定理，可得，存在唯一的 。现证明
中有子列以 为极限。在
中取 , 中取中取 在 中取
从而得到子列
， ，令 ，得，故定理得证。
五.柯西收敛准则定理：
是基本列，则 收敛，反之也成立。基本列：
成立 ,则称该数列为基本列。证明 ：（1）设
，则有 ，
两式相加，可得
(2).先证明
有界取
成立即：
,取对于
，即 有界，所以有收敛子列记
，因为
，当k充分大时，这个式子可以写成，令 ，则原式变为
故
，证毕。结语：上述五个定理统称为实数系的连续性定理，是数学分析学习过程中必须掌握的实数理论的基本定理。这几个定理都描述了实数系是连续的，不可列的。除此之外，实数系基本定理还有戴德金切割定理，聚点定理（也可归为之密性定理），定理内容及证明放在以后给出。从任何一个定理出发都能够推出其他几个定理，他们是极限论的基础，进而也是微积分的基础。