1.柯西收敛原理表达了数列收敛的充分必要条件
2.数列收敛的充要条件是该数列为基本数列
3.实数系的基本定理包括实数系的连续性和完备性
4.实数系的连续性又称为确界存在定理，完备性即柯西收敛原理
5.实数系的连续性和完备性是等价的
单调有界的数列定理称为充分性定理。 因为给出了数列收敛的充分性条件。 那么，自然的问题是——数列收敛的充要条件是什么？ 今天我来回答这个问题。
快递：收敛标准(一)收敛标准；二)收敛标准；三)
1
基本数列
首先定义：
让我们看两个例子。
例1
例2
其中，基本数列满足任意，要证明其不是基本数列，只需要找到一个也满足条件。
在上一篇文章中，我们发现例1的数列收敛，例2为调和级数，发散为正的无限大。 因此，接下来要研究的是基本数列和数列收敛的关系。 这就是数列收敛的充要条件—— 柯西收敛准则。
2
柯西收敛原理
cauchy收敛原理：
数列收敛的充分必要条件是该数列为基本数列
首先是必要性
证明充分性:
证明充分性时，首先证明数列有界，根据致密性定理得到其收敛子序列。 因为基本数列对于任意m(wxdst的任意项)成立，所以蓝框部分可以使用m代替收敛子列(数列收敛与前有限项无关，只要取收敛子列中大于原数列第N项后面的无限项即可)。 而且同样，对于任意n(wxdst的任意项)，不等式成立(蓝框)，首先把n，看作常数固定，对k无限接近，可以从数列保序性中得到。
这样，我们证明了柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。
让我们来看看例题。
例3
3
实数系的基本定理
现在，我已经介绍了所有实系数的基本定理。 这包括以下内容：
其中，确界存在定理也称为实数系的连续性，柯西收敛原理也称为实数系的完备性。 我们从确实边界上存在的定理出发，从上到下依次证明了这五个定理。 实际上，它们彼此等价。 也就是说，——可以根据其中一个定理得出其他四个定理。
实数系的完备性与实数系的连续性等价
在这一节中，反过来证明吧。 通过柯西收敛原理证明闭区间的拟合定理，并再次证明界的存在定理。
例4
例5
这里很难理解的是，用反证法证明是t上确界，实际上是利用了数列的保序性：
保序性在极限章节中进行了介绍，这是应该掌握的知识点。
传送门：数列极限(2) )。