基本理论
$bf (引理1 ) $假设$t )是从$(BF ) Banach ) $空间$X$到$(BF ) Banach ) $空间$Y$的有界线性算子，其中$TX=Y$是任意$a 0$
方法1
$bf (引理2 ) $假设$T$是从$(BF ) Banach ) $空间$X$到$(BF ) Banach ) $空间$Y$的有界线性算子，其中$TX=Y$是任意$a 0$
方法1
$bf (映射定理) $将$T$作为从$(BF ) Banach ) $空间$X$到$(BF ) Banach ) $空间$Y$的有界线性算子，如果$TX=Y$，则$T$为
方法1
$bf (逆算子定理) $是将$T$作为$(BF ) Banach ) $空间$X$到$(BF ) Banach ) $空间$Y$的有界线性算子，如果$T$是双射，则逆算子$ ()
方法1
$bf (等价范数定理) $线性空间$X$中有两个范数$(left(|) cdotright )|_1}$和$(left(|) cdotright )|_ )
方法1
$bf (闭图像定理) $假设为$X，Y$全部假设为$bf{Banach}$空间，$T$是$d (从left (t (right )subset X$到$Y$的闭线性运算符
方法1方法2
$bf (共振定理) $如果$X，Y$都是$(BF ) Banach ) $空间，$w(subsetb ) left ) (x，y ) ) right )，如果() (mathop )的话
方法1方法2
$BF(Banach-SteinHaus定理) $为$X，Y$全部为$(BF ) Banach ) $空间，$M$是$X$的密集子集，${T_n}，t ) inb )
${T_n}$强收敛于$T$的充要条件是
$(1) $ ) left (|{ { t _ n } ) (right (|$有界
$(2) $(lim ) limits_{n ) to ) infty}{t_n}x=tx，forallx ) inm$
方法1
$BF(Hahn-Banach泛函扩展定理) $设$X$为实线性空间，$p(x ) $为$X$上的二阶线性泛函。 对于$f$在$X$上的子空间$X_0$上的实线性泛函，且([f((Lach ) ) ) ) 65 ]，存在$X$上的实线性泛函${tilde f}$，$ xx
方法1
应用
$BF(gelfand引理) $以$X$为$ ) $bf{Banach}$空间，$p ) x$为$X$上的泛函，满足以下条件：
(1) $p(left ) x ) right ) ge0，forallx(inx$
(2) ) p(left ) (lambdax(right ) lambdap ) left ) x ) right )，forall ) lambda0，x(inx$
(3) p(left ) xy ) right ) lep ) left ) x ) right ) p ) left ) y ) right )，forall x，y(inx$
(4) x_n ) )对于tox$，) (mathop ) ) underline(lim ) ) limits_{n(to ) infty}p ) ) x ) x ) x ) x
因为存在$M0$，$pleft(xright ) lemleft )|xright(|，forall x in X$
方法1方法2
$bf (保1延拓定理) $是赋范线性空间，$X$是$X$的线性子空间，${x_0}(inx$，$d(left ) {{x_0}，z} ) $是right
(1) $f(left ) x ) right )=0，x(inz$
(2) f(left({{x_0}} ) right )=d ) left ) {{x_0}，z} ) right ) $
(3) $(left(|f ) right )|=1$美元
方法1方法2
$bf (矩定理) $设$X$为赋范线性空间，${x_1}，{x_2}，cdots，{x_k}$为$X$中$k$个线性独立向量
(1) f(left ) ) x__upsilon}(right ) ) alpha__upsilon )，(upsilon=1，2，cdots，k$
(2) $(left(|f(right )|(lem$ )
的连续线性泛函$f$的充要条件对于任何数${t_1}、{t_2}、cdots、{t_k}$， [left|{ _ sum _ limits _ { }
方法1
$bf (命题) $以范数$ (left ({ 0，1 } )|_1}$表示$(left(|) cdot ) right ) )为巴赫空间，任意$t ) ight
方法1
$bf (命题) $将$(t )作为从$(BF ) Banach ) $空间(x )到赋范线性空间) y$的线性算子，([{m_n}=(left({x|) ) ) left
方法1方法2
$bf (命题) $
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