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切比雪夫大数定律的条件,简要叙述切比雪夫大数定理

时间:2023-05-04 01:22:54 阅读:186154 作者:2528

目录

一. kndsmt不等式

二.大数定律

1 .按概率收敛

3.1 kndsmt定律

3.2伯努利定理

3.3辛辛定律

4 .比较记忆

三.中心极限定理

1 .列维——优美笔中心极限定理

2 .内向唇膏中心极限定理

四.总结

另一方面,假设kndsmt不等式定理随机变量x具有数学期望EX=,方差DX=^2,则对于任意 0,以下不等式成立。

或写

或者

含义:即使分布未知,随机变量的取值落在期望的一定范围内的概率也是有界的,表明边界与方差有关。 DX越小,落在某个范围内的概率越高,表示x取值的概率分布越集中。 也就是说,方差DX可以表示随机变量x取值的离散度。

作用:表示随机变量x的分布未知,只知道EX和DX时的估计概率P{|X-EX|}的极限。 这个估计很粗略,如果知道x的分布,就可以正确计算概率的话,就没有必要用这个不等式进行估计。

证明kndsmt大数定律或利用不等式求未知参数范围。 例如,求出概率至少是xx的条件的未知参数(的逆问题)。

《kndsmt不等式及其应用》:https://wenku.Baidu.com/view/b 0994 CCD 284 AC 850 ad 0242 cf.html

证明和例题; 指出与大数定律关系的kndsmt不等式给出的概率边界是保守的,如果有其他信息(例如,n足够大,独立重复实验等),优选选择中心极限定理。

二、大数定律【大数定律】是描述试验次数多时出现概率性质的定律。 由于是在一些附加条件下证明的定理,是自然规律,不是经验规律,所以定理自然规律=“规律”。 随机事件a的频率f(a )在重复尝试的次数n增大时显示出稳定性,在某个常数附近稳定。 因此,大数定理研究是频率的稳定性。

这里介绍概率收敛的知识。

p> 1. 依概率收敛

一个随机变量序列 {Xn} 依概率收敛到某一个常数 a,对于任意 ε >0,有下式,称随机变量序列 {Xn} (n=1,2,……n)依概率收敛于 a,记为。

含义:指的是 Xn 和 a 之间存在一定差距的可能性将会随着n 的增大而趋向于零。

2. 大数定律的一般表述

X1,X2,……,Xn 是独立同分布随机变量序列,期望为 μSn=X1+X2+……+Xn,则  收敛到 μ

含义:在 n 很大时,某随机变量序列的均值收敛于它的期望,这里的收敛即“充分接近”。如,样本数量很大时,样本均值依概率收敛于总体均值。

弱大数定律:上述收敛是指依概率收敛。

强大数定律:上述收敛是指几乎必然收敛。

3. 表现形式

多种,高数概率论中要掌握 3 个,均是依概率收敛的情况。

3.1 kndsmt大数定律

设 X1,X2,……,Xn 独立,期望 ,方差  都存在,且方差 DXk 有一致上界(即每个方差都有上界且收敛速度接近),设对任意 ε >0,有:

不要求同分布。

3.2 伯努利大数定理

设 X 是 n 重伯努利试验中事件发生的次数,每次试验事件发生的概率为 p,则对任意 ε >0,有:

n足够大时,事件A出现的频率接近于其发生的概率,即频率的稳定性。可用样本成数(比例)去估计总体成数(比例)。是kndsmt的特例。

3.3 辛钦大数定律

设 X1,X2,……,Xn 独立同分布,期望  存在,则对任意 ε >0,有:

随着样本容量n的增加,样本平均数将接近于它的期望。统计推断中,可用样本均值估计总体的期望(因为同分布,样本均值的期望=总体的期望)。是kndsmt的特例。

4. 对比记忆 大数定律的3个形式 kndsmt条件① Xi 独立;② EXi、DXi 存在;③ DXi 有一致上界伯努利① X~B(n,p)辛钦① Xi 独立;② Xi 同分布;③ EXi 存在三、中心极限定理

【中心极限定理】指随机变量序列的部分和分布,渐近于正态分布,或者说大量随机变量的和分布趋近于正态分布。之所以叫做“中心”,只是突出它的重要性,有两个较为接近的解释。一是,早时的研究者认为正态分布是一切分布甚至万物的中心(《数理统计简史》);二是,研究和分布的极限定理的人,认为这个定理是数学学科的中心(hxdst)。

含义:大量(n→∞)、独立、同分布的随机变量之和,近似服从于一维正态分布。

1. 列维——美丽的钢笔中心极限定理

设 X1,X2,……,Xn 独立同分布,期望 ,方差  都存在,则对任意 ε >0,有:

实质就是对 ∑ Xi ~ N(nμ,nσ^2),标准化后服从 N(0,1)。

2. 内向的唇膏中心极限定理

设 Xn~B(n,p),则对任意 ε >0,有:

实质就是,Yi~B(1,p), Xn=∑ Yi ~ N(np,np(1-p) )的标准化。

四、小结

1. 不等式1个:X 的分布未知,只知道 EX 和 DX 时,估计概率 P{|X-EX|<ε} 的界限。或证明kndsmt大数定律,或是用不等式求未知参数范围

2. 大数定律3个:某随机变量序列的均值收敛于它的期望。

3. 中心极限定理2个:大量(n→∞)、独立、同分布的随机变量之和,近似服从于一维正态分布。

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