本文主要描述全连接的BP神经网络的前向传播和误差反向传播，所有的符号都用Ng的Machine learning的习惯。下图给出了某个全连接的神经网络图。
1前向传播 1.1前向传播分别计算第l层神经元的输入和输出；
1.1.1偏执项为1时向量整体形式：
分量形式：
1.1.2偏执项为b时
向量整体形式：
分量形式：
1.2网络误差 1.2.1偏执项为1时
对于某一个输入样本，它的输出为，它所对应的真实输出应该为，那么，该样本对应的误差E为
（1）
注意到输出层的第k个神经元的输出可以计算如下：
（2）
那么，误差E可以展开至隐藏层(第L-1层)的形式
（3）
又注意到隐藏层(第L-1层)的第j个神经元的输出可以计算如下：
(4)
那么，误差E进一步展开至隐藏层(第L-2层)
(5)
可以发现，E是权值的函数。
1.2.2偏执项为b时对于某一个输入样本，它的输出为，它所对应的真实输出应该为，那么，该样本对应的误差E为
(6)
注意到输出层的第k个神经元的输出可以计算如下：
(7)
那么，误差E可以展开至隐藏层(第L-1层)的形式
(8)
又注意到隐藏层(第L-1层)的第j个神经元的输出可以计算如下：
(9)
那么，误差E进一步展开至隐藏层(第L-2层)
(10)
可以发现，E是权值和偏执项的函数。
2误差反向传播中的敏感度某一层的敏感度的定义为：网络的误差对该层的输入的偏导数，即
2.1偏执项为1时的敏感度 2.1.1输出层的敏感度输出层（第L层）的第k个神经元的敏感度定义如下：
为了计算该敏感度，利用链式法则，引入中间变量（第L层的第k个神经元的输出）：
(11)
首先，计算：
然后，计算：
这里的f为sigmoid函数，有：
从而可以得到：
(12)
那么，第L层的所有神经元的敏感度为：
(13)
2.1.2其他层计算第L-1层的第j个神经元的敏感度，定义如下：
为了计算该敏感度，利用链式法则，引入中间变量（第L-1层的第j个神经元的输出）：
(14)
首先，计算：
其中：
则有：
然后，计算：
从而可以得到：
(15)
其中：
那么，第L-1层的所有神经元的敏感度为
(16)
以上推导是由第L层的敏感度计算第L-1层的敏感度，那么，利用递推方法可以得到第l层的敏感度的计算方法（l=L-1,…,2）：
(17)
2.2偏执项为b时的敏感度推导过程中，只有一处发生改变，即隐藏层的计算式发生如下改变，但结果并没有改变，所以不会对最终的敏感度的计算公式造成影响：
3梯度的计算 3.1单个样本（偏执项为1时）的梯度此时的待优化参数只有权值矩阵中的元素，计算误差E对第l层的权值矩阵的偏导数：
对于其中的某一个元素，计算如下：
那么，整个求导矩阵计算如下：
即：
3.2单个样本（偏执项为b时）的梯度此时的待优化参数为权值矩阵中的元素和偏执项b；
首先计算误差E对第l层的权值矩阵的偏导数：
对于其中的某一个元素，计算如下：
那么，整个求导矩阵计算如下：
接下来，计算误差E对第l层的偏执项矩阵的偏导数：
对于其中的某一个元素，计算如下：
所以，整个偏执项求得到计算如下：
3.3m个样本的梯度求解（未加入其他惩罚项）如前所述，对于单个样本而言，它的代价函数为E，现在有m个训练样本，它的代价函数应该为所有样本的代价函数的均值，用Ei表示第i个训练样本的代价函数（也就是前文一直使用的代价函数），E表示所有样本的代价函数，则它们有如下关系：
则有：
(18)
如果有偏执项b的话，则有
(19)
如果有m个样本，前面计算所得得到的和都是矩阵，它们的每一列是每个样本对应的第l层的敏感度和输出值。那么，可以按照如下方式计算m个样本所对应的梯度值：
（1）偏执项为1
(20)
（2）偏执项为b
(21)
(22)
4加了正则化项和稀疏项后 4.1网络误差加入了正则化项和稀疏项后的网络误差计算公式如下：
(23)
其中：
J1、J2和J3的计算方法分别如下：
第k个隐藏层中j个神经元的相对熵的计算公式如下：
(24)
其中：，为第k个隐藏层中j个神经元相对于第i个输入样本的激励值，而为第k个隐藏层中j个神经元相对于所有输入样本激励值的均值。
4.2网络代价函数的偏导数网络代价函数的偏导数：
其中：
（1）偏执项为1时
(25)
（2）偏执项为b时
(26)
4.3敏感度的计算加入了权值惩罚项和稀疏项后，输出层的敏感度计算不发生变化，而其余各层的敏感度公式变为如下：
(27)
5计算流程 利用前向传播算法计算各层的激励值 计算整个网络的代价函数利用式 (23)
利用反向传播算法计算各层的敏感度 计算代价函数对权值矩阵和偏执项的梯度利用式(26)计算代价函数对权值矩阵和偏执项的梯度