我们要更加深入地学习同态与同构。先来学习一下那些符号：
这里要强调一下概念：同态映射不一定是满射，因此有同台映射的两个群不一定是同态，必须是要有满射的。自同态与自同构主要体现的是那个映射比较特别，毕竟群肯定和自己同态同构。
同台比一定要发生在群之间，也可以发生在“拥有代数运算，但不知道是不是群”的集合之间。
这个定理的证明很简单。注意：既然同态了，那我证明用的映射肯定用满射。
还有一个点：代数系统也不一定是群。代数系统是一个群加上一些代数运算，这些代数运算只要求封闭（也就是之前看到的东西）。
这个可以从上面的定理推出。同构的话二者互相同态，一个是群那另一个也是。假如只是同态，A同态B,B不一定同态A(满射不一定是双射，反过来行不通了)，所以要求是同构。
用人话讲就是：
（1）H是G的一个子集，H用筏映射过去得到的群是H',还是G'的子集，而且H和阀H同态（这不废话吗，阀H就是H映射过去的，每个元素都是H元素的映射，也就当然是满射了，也就成为了“同态”）
（2）这个“诱导”的意思是这个映射就是阀的意思。
现在来一个很有意思的例题：
明确了这些定义后，我们要正式开始学习：
记得中心是什么吗？就是一个群当中所有可以与其他所有元素交换（也就是xa=ax的意思）的元素组成的群（证明他是群很容易）
中心其实就象是一个交换群一样，交换群显然怎么分都是正规的，中心当然是正规的。
N是G的正规gxdxmf，要求对G的每个元素都要aN=Na，换成H后要求还更低了。
原本是要证aNa'=N的，现在只要证aNa'属于N就可以了。
交代群就是对称群中偶置换组成的群。oxo'*oxo'=ox^2o'=oo'=e,可见这玩亿也是阶数为2的元素。而且是由几个偶置换乘起来的，也是偶置换，也就成了“阶为2的偶置换”。
要求变高了嘛。
都是同态的，这边aNa'=N,那那边aNa'=N也很正常吧。当然这里最受争议的肯定是逆映射的问题。这个是这样解释的：
就是说：f'(A)的意思是“所有可以通过f关系映射到A的元素的集合”，这里要注意A中一些元素可能没有“逆元”，可能有很多“逆元”，所以会有上面的两个性质。
想象一下：H和K是正规gxdxmf，aHKa',aH=Ha,也就成了HaKa',aKa'=K,原式等于HK,也就是aHKa'=HK,HK也是正规gxdxmf。
那第一条怎么证呢？：
HK=KH<->NH<=G的证明在gxdxmf那一章。
从这个陪集乘法中我们可以看到两个正规gxdxmf（注意要是正规gxdxmf，不是正规的没法把ab移到前面）相乘得到的还是一个正规gxdxmf。
这些都很简单，就不解释了。
总而言之，我在G中任取一个a,如果这个|a|是p的倍数那直接就成了，p=|a^(p/|a|)|；假如不是，那|a|肯定也是pn的因数。我用a生成一个循环群<a>,整一个G/<a>，一个商群怎么说？（这是个交换群，哪个gxdxmf都是正规的，当然会有商群）这个商群|G/N|=pn/|a|,n/|a|是整数对不对？我们之前假设了pk交换群都成立有P阶元，那这个商群也有，我把它拿出来，设为bN,(bN)^|b|=b^|b|N=N,这个元素的阶显然是|b|的因数,这样我们就强行找到了一个阶是p的倍数的元素b,也就证到了。
注意：pn阶群有p阶元不一定要是交换群，但pq,p1p2p3····的要求是交换群。
drdqb显然和哈密顿群完全相反。哈密顿群是那个gxdxmf都是正规gxdxmf，不是交换群胜是交换群；drdqb就只有平凡正规gxdxmf，e和自己两个，完全相反。
素数阶群没有除平凡gxdxmf以外的群。
奇置换不能组成群，只有偶置换能成群。偶置换的总集合An是drdqb，里面没有正规gxdxmf，Sn也就没有其他正规gxdxmf的希望了。
交换群讲道理是含着金钥匙出生的，很容易有正规gxdxmf（是个gxdxmf就行），想要没有正规gxdxmf就只能是没有gxdxmf，那就只能是阶数为素数了。
a->aN就可以了（aN是商集的元素）事实上，这个映射被称为自然映射。
这个很好理解，G'的单位元是N,按照a->aN,只要a属于N,那aN就=N，所以核就是N。（注意：只是同态映射而已，不一定是双射或满射）
G和G'同态，N对应G'里的单位元，xnx'->xx'=e也就是说xNx'中的每一个元素都对应G'中的e,还就那个属于自己，也就成了正规gxdxmf。
形象地理解G/N和G'同构：G有一个群N和G'的e对应，那么就像是把G按照N分成了一块一块的，每一块相当于G里的一个元素。
群同态基本定理可以通过第一同构定理推出来：N就是G的正规gxdxmf，e'就是G'中N对应的正规gxdxmf，G'/e'就是G'自己，所以G/N=G'
G'可能有些部分没有参与，所以要拿出Im来。
G肯定有N,G/N又要和G'同构（同构肯定同阶），这下不就整除了。
在这里，和商群同构的也算商群。
都是对应的。
发（h-1x）=法（h-1）法（x）=e'。用简单的话讲：只要G的gxdxmfH包含了核，那么他映射过去返回来就还是自己，不会变大。
每个H都可以发过去一个映射，每个H'都可以发回来一个，是双射。
现在讲讲同构定理：
第一步证明是映射就是证明一个xN只能对应一个x'N'.
保持运算就是要保证是同态映射。
可以这样形象记忆：原本大家就是同态，什么都对应，现在G/N和G'/N',N都包含kern,让大家都一样多了，就成为同构了。xN->x'N',一个一个对应。
用人话讲，就是：两个同态的群，对一个相对应的正规gxdxmf（包含核）做的商群是同构的。
下面这个例子：G和G/H是同态的，那个正规gxdxmf是HK和HK/H.
用人话讲是：G有一个gxdxmfH,一个正规gxdxmfN,则H和N的交集是正规gxdxmf，且HN对N的商群和H对(H和N的交集)的商群是同构的。
HN显然是G的gxdxmf。N是G的正规gxdxmf，当然是HN的正规gxdxmf。H和N的交集，是Ggxdxmf和gxdxmf的交集，我们知道gxdxmf和gxdxmf交集还是gxdxmf，N又是正规gxdxmf，所以H并N是H的正规gxdxmf。
现在我有一个映射，H里的x映射到HN/N里的xN（HN/N里面的元素就是aN,bN,cN···，abc都是H的）,显然HN/N的单位元是eN,H里的什么元素映射到HN/N里面是eN呢？哪些属于N的元素映射过去还是N，也就是eN,故H的同态核是H并N.这样一来，同构就证明到了。
接下来是第三同构定理：
用人话讲就是：
(1)N是G的正规gxdxmf，H'是G/N的一个gxdxmf（就是一个由aN,bN···组成的群），那么G肯定有一个gxdxmfH,包含了N,而且H/N=H' 。可以这样想像：H'是G/N的一个gxdxmf，是aN,bN···，既然是群，那么a,b···这些也自然是群，那么我可以写出一个包括了a,b··等元素和N，以及在aN,bN中的元素（那些会出现aN=cN现象的元素）的群H,这个群是自成体系的，N在这个群里的陪集就是aN,bN···这些，也就是说：H/N和H'是完全一样的，也就是H'=H/N.
（2）第二个结论就是：G/H这个商群（aH,bH···），上下同时做N的商群，二者同构。
最后那个“注”才是最精炼的。
自同构群：
这东西看着特别绕对不对？就是这样：M是一个代数系统，M有几个自同构（就是说M上有双射映射，是M映射到M的，只要可以f(ab)=f(a)f(b)就是自同构的映射），这些自同构都是M到自己的映射，也就是变换，这些变换成一个群，叫M自同构群。
这些个自同构也能成群可以这样简单理解：f1:a->f1(a),f1(ab)=f1(a)f1(b) f2:a->f2(a),f2(ab)=f2(a)f2(b),我现在f1*f2，我们知道交换乘交换还是交换，这样当然也还是自同构。逆元也很好找，原来是a->b现在就b->a呗。
无限阶循环群只有两种自同构的方法：一个是完全不动，一个是a->a-1,于是是二阶的，素数群当然是循环群啦。
循环群有多少生成元就会有多少自同构方法。可以这样证：假如a,a^3是一个4阶循环的生成元，我让a->a^3,那a^3->a^5,也就是a,a^2->a^4=e,这样就轻易地获得了一个自同构。这样我就发现了一个规律：只要生成元向前对应（其他普通元素也用同样的步伐对应），就生成一个同构，这样的同构是生成元数-1，再加上恒等变换，就是生成元数量。
可以看到，假如axa-1=aya-1,那么x=y,显然这时双射。接下来是群就很好证了。现在就是要整正规gxdxmf。：
因为 也是自同构的变换，所以可以aya-1)=a)····,这样直接拆开。这样一算有变成了一种内自同构，这样内自同构显然是一个正规gxdxmf了。
正规gxdxmf本来就是aNa-1=N,来一回axa-1的映射当然不会变化。
注意，这里是任意的自同构，可能不是axa-1这种为正规gxdxmf量身定制的映射，所以正规gxdxmf不一定是特征gxdxmf，但是特征gxdxmf一定是正规gxdxmf，因为特征gxdxmf已经经受了axa-1的考验了。
全特征gxdxmf比特征gxdxmf还要重量级。人家特征值群只是自同构还属于自己，这个直接就是所有自同态都是自己的了。现在我们可以知道，正规gxdxmf>特征gxdxmf>全特征gxdxmf。
这个“群的中心是特征gxdxmf”的证明，思路就是利用同构映射这个条件证明c'x=xc'，这样就知道了c'也在中心中，这样中心怎样同构映射都还是在中心里面。但是同态映射就不行了，c''可能不是c，中间证不了。
这里讲一下：为什么循环群的自同态都是a->at这样的套路呢？我们可以想一下，假如a->a2,a2->a3,a3->a4,那a*a2=a3,a2*a3=a5,可a3->a4呀，所以其他的不行。
可以这样想：C是中心，其中每一个元素都满足axa-1(a来自中心)，可以看到，C就是G到lnnG同态的核，那lnnG核G/C同构很合理吧。