本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
单变量函数的极限 极限的定义 普通极限
L = lim x → x 0 f ( x ) L=lim_{x rightarrow x_0} {f(x)} L=x→x0limf(x)
左极限L = lim x → x 0 − f ( x ) L=lim_{x rightarrow x_0^-} {f(x)} L=x→x0−limf(x)
右极限L = lim x → x 0 + f ( x ) L=lim_{x rightarrow x_0^+} {f(x)} L=x→x0+limf(x)
matlab实现方法 L=limit(fun, x, x0) % //普通极限L=limit(fun, x, x0, 'left') % //左极限L=limit(fun, x, x0, 'right') % //右极限 应用举例 求解极限： L = lim x → 0 s i n x x L=lim_{x rightarrow 0} {frac{sin x}{x}} L=x→0limxsinx syms x; f=sin(x)/x; L=limit(f, x, 0) 求解极限： L = lim x → ∞ x ( 1 + a x ) x s i n b x L=lim_{x rightarrow infty} {x(1+frac{a}{x})^x sin frac{b}{x}} L=x→∞limx(1+xa)xsinxb syms x a bf = x*(1+a/x)^x*sin(b/x) L = limit(f, x, inf) 求解单边极限：syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。
x0=-0.1:0.001:0.1; y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')函数曲线如下：
可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。
syms n positivef = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);F = limit(f,n,inf) 求下面序列函数的极限
syms x nf = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n; F = limit(f,n,inf) 多变量函数的极限 matlab实现方法
多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。
假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限则可以嵌套使用limit()函数。例如:
L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)如果 x 0 x_0 x0或 y 0 y_0 y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。
假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限 L = lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) L=lim_{(x,y) rightarrow (x_0,y_0) } {f(x,y)} L=(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)
理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。
syms x a; syms y positive;f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf) 重极限的尝试 ，求解重极限 syms x y; f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2); L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf) 判断重极限是否存在
证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。
syms r x yf=x*y/(x^2+y^2); L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)