2018年 3月
第 33卷 第 1期
山 东 师 范 大 学 学 报 (自然 科 学 版)
Journal of Shandong Normal University(Natural Science)
Mar．201 8
V01．33 No．1
Matlab在极限环理论中的应用
ngdyl xhdzs
(山东师范大学数学与统计学院，250358，济南 )
摘要 本文从几何图形角度出发，基于极限环理论，引入Matlab编程，结合具体应用实例，给出极限环存在性判别与分类的
新方法，揭示了极限环几何特征的内在本质．
关键词 极限环； 稳定性； Matlab； 编程
中图分类号 O 17： O 175 文献标识码 A doi： 10．3969／j．issn．1001—4748．2018．O1．006
1 引 言
极限环是微分方程系统定性结构的重要内容．在常微分方程理论与实际应用中，主要对极限环的存在
性进行讨论，给出了 Poincare—Bendixson环域定理、Bendison定理、Poincare的切性曲线法等定理_】 J，从理论
角度对极限环的存在性进行判别．由极限环理论可知，极限环具有明显的几何性质，然而从几何角度来判别
极限环的研究较少．受极限环几何特征的启发．本文借助 Matlab强大的绘图功能来探讨判别极限环的新方
法．Matlab在微分方程中有许多应用 4 ]．基于极限环与附近轨线的拓扑结构，尝试通过Matlab编程，在相平
面上绘出方程的轨线分布来判定极限环是否存在，并根据轨线的性态给出极限环的分类．结合具体的实例，
通过直观图像演示发现内在规律 ．阐述极限环几何特征的本质．
2 预备知识
为了利用 Matlab来判断微分方程极限环的存在性，首先对于极限环的定义以及其几何分类加以介绍
考虑平面自治系统
睾： ( ，y) d
t
dy
小
=y( ，y)’
设其满足解的存在唯一性定理．
定义 1[2] 设有系统(1)的闭轨线 厂，若存在6>0，使得系统(1)在，的两侧邻域 S(厂， )内的一切轨
线均以 厂为其 力或A极限集。则称 厂为系统(1)的一个极限环．
根据闭轨附近的轨线分布．极限环的分类见下叙述．
定义 2 若系统在其极限环 厂外侧(内侧)足够小的邻域内的轨线均以厂为 极限集，则称 厂为外
(内)稳定极限环；若均以厂为A极限集，则称，为外(内)不稳定极限环；若厂既外稳定(不稳定)又内稳定
(不稳定)，则称 厂为稳定(不稳定)极限环；若 ，的一侧稳定一侧不稳定，则称 厂为半稳定极限环．
极限环的稳定性态如图 1所示．
收稿日期：2017—11—17
通讯作者：xhdzs，男，教授，硕士生导师
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第 33卷 山 东 师 范 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) 第 1期
J
y
I稳定极限环
J y
一
一
I】 半稳定极限
1．y
一
II不稳定极限环
J J，
一
环
x一
图 1 极限环的稳定性态
3 Matlab在极限环理论中应用实例
由微分方程的极限环理论可知，极限环是一种特殊的闭轨线，与周围的轨线有着密切的几何联系．因此，
可以通过 Matlab作出相平面内的轨线分布来判别极限环存在性 ，并且可以进一步对其进行分类．
3．1 一般步骤 结合极限环理论，总结应用 Matlab判别极限环存在性的一般步骤为：
i)借助 Matlab绘制出相平面的轨线分布，初步判断是否存在极限环．Matlab中存在函数 str