在上一篇文章中 http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/39005227 介绍了用快速傅里叶变
换来求多项式的乘法。可以发现它是利用了单位复根的特殊性质，大大减少了运算，但是这种做法是对复数系数的矩阵
加以处理，每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分系数都是浮点数，我们必须做复数及浮点数
的计算，计算量会比较大，而且浮点数的计算可能会导致误差增大。
今天，我将来介绍另一种计算多项式乘法的算法，叫做快速数论变换（NTT），在离散正交变换的理论中，已经证明在
复数域内，具有循环卷积特性的唯一变换是DFT，所以在复数域中不存在具有循环卷积性质的更简单的离散正交变换。
因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换。
回忆复数向量，其离散傅里叶变换公式如下
离散傅里叶逆变换公式为
今天的快速数论变换（NTT）是在上进行的，在快速傅里叶变换（FFT）中，通过次单位复根来运算的，即满
足的，而对于快速数论变换来说，则是可以将看成是的等价，这里是模素数
的原根（由于是素数，那么原根一定存在）。即
所以综上，我们得到数论变换的公式如下
而数论变换的逆变换公式为
这样就把复数对应到一个整数，之后一切都是在系统内考虑。
上述数论变换（NTT）公式中，要求是素数且必须是的因子。由于经常是2的方幂，所以可以构造形
如的素数。通常来说可以选择为费马素数，这样的变换叫做费马数数论变换。
这里我们选择，，这样得到模的原根值为。
另外附上一篇好文章：从多项式乘法到快速傅里叶变换。
题目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1028
分析：题目意思就是大数相乘，此处用快速数论变换（NTT）实现。
代码：
#include <iostream>#include <string.h>#include <stdio.h>using namespace std;typedef long long LL;const int N = 1 << 18;const int P = (479 << 21) + 1;const int G = 3;const int NUM = 20;LL wn[NUM];LL a[N], b[N];char A[N], B[N];LL quick_mod(LL a, LL b, LL m){ LL ans = 1; a %= m; while(b) { if(b & 1) { ans = ans * a % m; b--; } b >>= 1; a = a * a % m; } return ans;}void GetWn(){ for(int i = 0; i < NUM; i++) { int t = 1 << i; wn[i] = quick_mod(G, (P - 1) / t, P); }}void Prepare(char A[], char B[], LL a[], LL b[], int &len){ len = 1; int L1 = strlen(A); int L2 = strlen(B); while(len <= 2 * L1 || len <= 2 * L2) len <<= 1; for(int i = 0; i < len; i++) { if(i < L1) a[i] = A[L1 - i - 1] - '0'; else a[i] = 0; if(i < L2) b[i] = B[L2 - i - 1] - '0'; else b[i] = 0; }}void Rader(LL a[], int len){ int j = len >> 1; for(int i = 1; i < len - 1; i++) { if(i < j) swap(a[i], a[j]); int k = len >> 1; while(j >= k) { j -= k; k >>= 1; } if(j < k) j += k; }}void NTT(LL a[], int len, int on){ Rader(a, len); int id = 0; for(int h = 2; h <= len; h <<= 1) { id++; for(int j = 0; j < len; j += h) { LL w = 1; for(int k = j; k < j + h / 2; k++) { LL u = a[k] % P; LL t = w * a[k + h / 2] % P; a[k] = (u + t) % P; a[k + h / 2] = (u - t + P) % P; w = w * wn[id] % P; } } } if(on == -1) { for(int i = 1; i < len / 2; i++) swap(a[i], a[len - i]); LL inv = quick_mod(len, P - 2, P); for(int i = 0; i < len; i++) a[i] = a[i] * inv % P; }}void Conv(LL a[], LL b[], int n){ NTT(a, n, 1); NTT(b, n, 1); for(int i = 0; i < n; i++) a[i] = a[i] * b[i] % P; NTT(a, n, -1);}void Transfer(LL a[], int n){ int t = 0; for(int i = 0; i < n; i++) { a[i] += t; if(a[i] > 9) { t = a[i] / 10; a[i] %= 10; } else t = 0; }}void Print(LL a[], int n){ bool flag = 1; for(int i = n - 1; i >= 0; i--) { if(a[i] != 0 && flag) { //使用putchar()速度快很多 putchar(a[i] + '0'); flag = 0; } else if(!flag) putchar(a[i] + '0'); } puts("");}int main(){ GetWn(); while(scanf("%s %s", A, B) != EOF) { int len; Prepare(A, B, a, b, len); Conv(a, b, len); Transfer(a, len); Print(a, len); } return 0;}