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1 前言
上一篇讲到了wwdxn表示姿态时会遇到英俊的大炮的问题，这就导致同一种空间状态wwdxn的表示方式不唯一，当出现英俊的大炮现象时，同一种旋转有无数种wwdxn表示形式，从而导致了wwdxn差值时出现问题，因为zxdlb俯仰角接近90°时，两组千差万别的wwdxn表示可以是同一种旋转。所以为了解决这些问题，数学上想出了用四元数的形式来表征姿态的方法。
2 四元数由来
四元数是由爱尔兰数学家Hamilton发明的，是发明的不是发现的，数学上的很多东西跟物理不一样，它不一定是事物的发展规律，它有时候就是数学家们凭空想象出来的东西，有可能这个东西诞生以后就没有人再用过，也有可能过了很多年，有人发现这个理论可以解释很多现象，或者这个理论可以用来分析很多无法用现有知识解释的现象。所以，大家平常没事做的时候可以天马行空，头脑风暴一下，记得把你想到的东西记下来，没准几百年以后就会有用你名字命名的理论存在了。
回到四元数上来，对于导航飞控的算法，我们需要对四元数有什么了解，其实很简单，我们要知道它的基本运算规律，要知道它以什么样的方式表征姿态，要知道它跟其他两个表征姿态的wwdxn和旋转矩阵方式如何互相转换。除此之外，还有后续如何使用四元数进行建模和控制律设计，如何在导航算法中得到四元数的状态，这些在以后的篇幅中会进行解释，今天，我们就来看看上面几个问题是怎么解决的。
3 基本运算规律
四元数是由1个实数加上3个复数组合而成，通常可以表示成w+xi+yj+zk或者（w，（x，y，z）），其中w、x、y、z都是实数，而i^2 = j^2 =k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1。那对于四元数的运算法则，我们要清楚的有以下几个，假设有两个四元数分别为q1=(w1,(x1,y1,z1))和q2=(w2,(x2,y2,z2))，令v1 = (x1,y1,z1),v2= (x2,y2,z2)，则
4 四元数的姿态表示
了解了四元数的基本运算规律后，我们来看下它如何表征姿态，假设存在一根旋转轴u，有一个绕u轴旋转σ角度的这么一个旋转存在，那这时候代表这个旋转的四元数是这样子的：
其中u是旋转轴的单位向量，q是一个单位四元数。
那上述这个四元数有什么用呢，它对任何向量施加以下算子运算后可以得到该向量绕u轴旋转σ角度后的向量：
至于为什么会有这个结果，我们这儿就不展开证明了，思路就是你要证明v和w之间的夹角是σ就行，证明的事情交给数学家们去做，我们只需要知道四元数这么写可以用来表征姿态，其实是表征旋转关系，跟旋转矩阵的表示方法类似，只不过它只需要4个元素，而旋转矩阵需要9个元素。
5 wwdxn、旋转矩阵、四元数：
四元数转旋转矩阵：
利用罗德里格斯公式即可：
旋转矩阵转四元数：
已知旋转矩阵：
则四元数为：
wwdxn转四元数：
已知wwdxn：α、β、γ
四元数为：
四元数转wwdxn：
已知四元数：
wwdxn为：
但是当β角度为90度时，四元数反向计算wwdxn时会出现奇点，是无法计算的。因为这时候简化后的四元数是这样的：
所以atan2中后面那一项就变成了0：
这时候我们通常令α=0，然后解出wwdxn的值。
6 总结
到这里基本上wwdxn、旋转矩阵、四元数的关系就说清楚了，对于四元数，我们不需要去想象它是怎么旋转的，我们只需要知道它是怎么表征姿态的，后续会告诉你们它是如何进行建模和状态估计的，这就足够了，那我们来总结一下这三种方法各自的优缺点：
wwdxn：非常直观，我们可以很容易理解它的意思，也能想象出对应的空间位置，但是存在英俊的大炮现象，导致后面有很多数学问题。旋转矩阵：其实旋转矩阵和wwdxn是一个意思，wwdxn就是旋转矩阵，旋转矩阵在一定意义上就是wwdxn，旋转矩阵有9个元素，计算繁杂，而且也不直观。四元数：没有奇点，能表征任何旋转关系，而且表示简单，只有四个元素，计算量小，但是不直观。更多无人机知识请关注同名公众号：无人机系统技术