我们知道，在二分类问题模型：例如逻辑回归「Logistic Regression」、神经网络「Neural Network」等，真实样本的标签为 [0，1]，分别表示负类和正类。模型的最后通常会经过一个 Sigmoid 函数，输出一个概率值，这个概率值反映了预测为正类的可能性：概率越大，可能性越大。
Sigmoid 函数的表达式和图形如下所示：
其中 s 是模型上一层的输出，Sigmoid 函数有这样的特点：s = 0 时，g(s) = 0.5；s >> 0 时， g ≈ 1，s << 0 时，g ≈ 0。显然，g(s) 将前一级的线性输出映射到 [0，1] 之间的数值概率上。这里的 g(s) 就是交叉熵公式中的模型预测输出 。
我们说了，预测输出即 Sigmoid 函数的输出表征了当前样本标签为 1 的概率：
很明显，当前样本标签为 0 的概率就可以表达成：
重点来了，如果我们从极大似然性的角度出发，把上面两种情况整合到一起：
不懂极大似然估计也没关系。我们可以这么来看：
当真实样本标签 y = 0 时，上面式子第一项就为 1，概率等式转化为：
当真实样本标签 y = 1 时，上面式子第二项就为 1，概率等式转化为：
两种情况下概率表达式跟之前的完全一致，只不过我们把两种情况整合在一起了。
重点看一下整合之后的概率表达式，我们希望的是概率 P(y|x) 越大越好。首先，我们对 P(y|x) 引入 log 函数，因为 log 运算并不会影响函数本身的单调性。则有：
我们希望 log P(y|x) 越大越好，反过来，只要 log P(y|x) 的负值 -log P(y|x) 越小就行了。那我们就可以引入损失函数，且令 Loss = -log P(y|x)即可。则得到损失函数为：
非常简单，我们已经推导出了单个样本的损失函数，是如果是计算 N 个样本的总的损失函数，只要将 N 个 Loss 叠加起来就可以了：
这样，我们已经完整地实现了交叉熵损失函数的推导过程。
2. 交叉熵损失函数的直观理解可能会有读者说，我已经知道了交叉熵损失函数的推导过程。但是能不能从更直观的角度去理解这个表达式呢？而不是仅仅记住这个公式。好问题！接下来，我们从图形的角度，分析交叉熵函数，加深大家的理解。
首先，还是写出单个样本的交叉熵损失函数：
我们知道，当 y = 1 时：
这时候，L 与预测输出的关系如下图所示：
看了 L 的图形，简单明了！横坐标是预测输出，纵坐标是交叉熵损失函数 L。显然，预测输出越接近真实样本标签 1，损失函数 L 越小；预测输出越接近 0，L 越大。因此，函数的变化趋势完全符合实际需要的情况。
当 y = 0 时：
这时候，L 与预测输出的关系如下图所示：
同样，预测输出越接近真实样本标签 0，损失函数 L 越小；预测函数越接近 1，L 越大。函数的变化趋势也完全符合实际需要的情况。
从上面两种图，可以帮助我们对交叉熵损失函数有更直观的理解。无论真实样本标签 y 是 0 还是 1，L 都表征了预测输出与 y 的差距。
另外，重点提一点的是，从图形中我们可以发现：预测输出与 y 差得越多，L 的值越大，也就是说对当前模型的 “ 惩罚 ” 越大，而且是非线性增大，是一种类似指数增长的级别。这是由 log 函数本身的特性所决定的。这样的好处是模型会倾向于让预测输出更接近真实样本标签 y。
3. 交叉熵损失函数的其它形式什么？交叉熵损失函数还有其它形式？没错！我刚才介绍的是一个典型的形式。接下来我将从另一个角度推导新的交叉熵损失函数。
这种形式下假设真实样本的标签为 +1 和 -1，分别表示正类和负类。有个已知的知识点是Sigmoid 函数具有如下性质：
这个性质我们先放在这，待会有用。
好了，我们之前说了 y = +1 时，下列等式成立：
如果 y = -1 时，并引入 Sigmoid 函数的性质，下列等式成立：
重点来了，因为 y 取值为 +1 或 -1，可以把 y 值带入，将上面两个式子整合到一起：
这个比较好理解，分别令 y = +1 和 y = -1 就能得到上面两个式子。
接下来，同样引入 log 函数，得到：
要让概率最大，反过来，只要其负数最小即可。那么就可以定义相应的损失函数为：
还记得 Sigmoid 函数的表达式吧？将 g(ys) 带入：
好咯，L 就是我要推导的交叉熵损失函数。如果是 N 个样本，其交叉熵损失函数为：
接下来，我们从图形化直观角度来看。当 y = +1 时：
这时候，L 与上一层得分函数 s 的关系如下图所示：
横坐标是 s，纵坐标是 L。显然，s 越接近真实样本标签 1，损失函数 L 越小；s 越接近 -1，L 越大。
另一方面，当 y = -1 时：
这时候，L 与上一层得分函数 s 的关系如下图所示：
同样，s 越接近真实样本标签 -1，损失函数 L 越小；s 越接近 +1，L 越大。
4. 总结本文主要介绍了交叉熵损失函数的数学原理和推导过程，也从不同角度介绍了交叉熵损失函数的两种形式。第一种形式在实际应用中更加常见，例如神经网络等复杂模型；第二种多用于简单的逻辑回归模型。
5.多分类交叉熵交叉熵可在神经网络(机器学习)中作为损失函数，p表示真实标记的分布，q则为训练后的模型的预测标记分布，交叉熵损失函数可以衡量p与q的相似性。
交叉熵作为损失函数还有一个好处是使用sigmoid函数在梯度下降时能避免均方误差损失函数学习速率降低的问题，因为学习速率可以被输出的误差所控制。
单次观测下的多项式分布
其中，C代表类别数。p代表向量形式的模型参数，即各个类别的发生概率，如p=[0.1, 0.1, 0.7, 0.1]，则p1=0.1, p3=0.7等。即，多项式分布的模型参数就是各个类别的发生概率！x代表one-hot形式的观测值，如x=类别3，则x=[0, 0, 1, 0]。xi代表x的第i个元素，比如x=类别3时，x1=0，x2=0，x3=1，x4=0。
机器学习model对某个样本的输出，就代表各个类别发生的概率。但是，对于当前这一个样本而言，它肯定只能有一个类别，所以这一个样本就可以看成是一次实验（观察），而这次实验（观察）的结果要服从上述各个类别发生的概率，那不就是服从多项式分布嘛！而且是单次观察！各个类别发生的概率predict当然就是这个多项式分布的参数阿。
对于多类分类问题，似然函数就是衡量当前这个以predict为参数的单次观测下的多项式分布模型与样本值label之间的似然度。
所以，根据似然函数的定义，单个样本的似然函数即：
所以，整个样本集（或者一个batch）的似然函数即：
而由于式子里有累乘运算，所以习惯性的加个log函数来将累乘化成累加以提高运算速度（虽然对于每个样本来说只有一个类别，但是哪怕是算0.2^0也是算了一遍指数函数啊，计算机可不会直接口算出1）。所以在累乘号前面加上log函数后，就成了所谓的对数似然函数：
而最大化对数似然函数就等效于最小化负对数似然函数，所以前面加个负号后不就是我们平常照着敲的公式嘛。。。
而这个形式跟交叉熵的形式是一模一样的：
这里X的分布模型即样本集label的真实分布模型，这里模型q(x)即想要模拟真实分布模型的机器学习模型。可以说交叉熵是直接衡量两个分布，或者说两个model之间的差异。而似然函数则是解释以model的输出为参数的某分布模型对样本集的解释程度。因此，可以说这两者是“同貌不同源”，但是“殊途同归”啦。
6.交叉熵概率分布差异之间的理解https://juejin.im/post/5b40a5156fb9a04faf478a45原文：https://blog.csdn.net/ccj_ok/article/details/78066619
原文https://zhuanlan.zhihu.com/p/38241764