信号的分解实际上是依靠卷积运算来做的。
lim Δ → 0 f ^ ( t ) = f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) δ ( t − τ ) d τ lim _{Delta to 0}hat f(t)=f(t)=int _{-infty}^{infty}f(tau)delta(t-tau)rm dtau Δ→0limf^(t)=f(t)=∫−∞∞f(τ)δ(t−τ)dτ
设该信号为LTI系统的输入，则其输出根据LTI系统的性质可以得出如下：
y f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) h ( t − τ ) d τ y_f(t)=int_{-infty}^{infty}f(tau)h(t-tau)rm dtau yf(t)=∫−∞∞f(τ)h(t−τ)dτ
定义卷积积分
已知定义在区间 ( − ∞ , ∞ ) (-infty,infty) (−∞,∞)上的两个函数 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t)和 f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)，则定义积分
f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f 1 ( τ ) f 2 ( t − τ ) d τ f(t)=int_{-infty}^{infty}f_1(tau)f_2(t-tau)rm d tau f(t)=∫−∞∞f1(τ)f2(t−τ)dτ为 f 1 ( t ) f_1(t) f1(t)和 f 2 ( t ) f_2(t) f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为：
f ( t ) = f 1 ( t ) ∗ f 2 ( t ) f(t)=f_1(t)*f_2(t) f(t)=f1(t)∗f2(t)
注意：积分是在虚设的变量 τ tau τ下进行的， τ tau τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。可演变其他上下限。