题目1：
分析：已知的两个中点连起来起不到任何作用，并且跟已知条件AD=BC起不到任何关联，所以中点M和N注定是要分开使用的，看到中点找中点，在哪里找另一个中点，构造辅助中位线呢？我们可以试一下AD和BC的边，发现无法利用AD=BC的条件，这就告诉我们，在已有的线段上找中点是死胡同，赶快换个思路吧！我们来自己创造一条能取中点的边，比如ABCD的对角线AC，取AC的中点G，再连接GM和GN，在△ABC 中，中位线GM刚好是BC的一半，△ACD中，中位线GN刚好是AD的一半。
证明：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG．
∵N是CD的中点，且NG∥AD，
∴NG=
又∵M是AB的中点，
∴MG∥BC，且MG= 12 BC
∵AD=BC
∴NG=GM
△GNM为等腰三角形
∴∠GNM=∠GMN
∵GM∥BF平行于（中位线平行于第三边的性质）
∴∠GMF=∠F
∵GN∥AD
∴∠GNM=∠DEN
∴∠DEN=∠F．
总结：难点就在如何找辅助线（中位线）看到中点找中点，找到对应辅助线
题目2：
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠BAC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，连接AD，求证：（1）∠ADB=45°；（2）BE=2CD．
分析：由于BD既是高又是角平分线，由三线合一，很容易想到如果把BA、CD延长交于Q，就能构造出等腰三角形BCQ，再根据三线合一就知道BD也是中线，所以CQ=2CD，这样就把CD的两倍做出来了，接下来你就要证明CQ=BE了，观察图像，寻找CQ和BE所在的三角形，也就是证明三角形△ABE≌△ACQ
证明：
解答：证明：（1）∵CD⊥BE，∠BAC=90°
∴A、B、C、D四点共圆
∴∠ADB=∠ACB
∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ACB=∠ABC=45°
∴∠ADB=45°；
（2）
延长BA和CD交于Q
∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°
∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°
∴∠ACQ=∠ABE
【在△ABE和△CDE中，因为∠DEC=∠AEB（对顶角相等）也能得出∠ACQ=∠ABE】
在△ABE和△ACQ中
∠ABE＝∠ACQ
AB＝AC
∠BAE＝∠CAQ
∴△ABE≌△ACQ（相似三角形的定义）
∴BE=CQ，
∵BD平分∠ABC
∴∠QBD=∠CBD
∵∠BDC=90°
∴∠BDC=∠BDQ=90°
在△QDB和△CDB中
∠QBD＝∠CBD
BD＝BD
∠BDQ＝∠BDC
∴△QDB≌△CDB（相似三角形的定义）
∴CD=DQ
∴CQ=2CD
∴BE=2CD
题目3：
如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于E，则证明△ADE是等边三角形．
那么怎么处理呢？做辅助线构造全等三角形 既然要让AD和DE成为相等的对应边那么他们的对角也要相等，DE所对的是∠DCE，因为CE是角平分线，所以∠ACE是60°，所以∠DCE=120° 于是AD的对角也应该是120°，于是过D作AC的平行线交AB于P，∠BAC的同位角∠BPD=60°，这样就构造出了∠APD=120°，同时产生了等边三角形△BPD，，此外又得到了AP=CD，在△APD和△DCE中，AP=CD，∠APD=∠DCE，还差一个什么条件？不妨看看∠PAD和∠CDE，根据外角定理：∠ADC=∠PAD+∠B=∠PAD+60°，而∠ADC又是∠CDE和∠ADE拼接成的，又因为∠ADE=60°，所以得到∠CDE=∠PAD 证明： 过D作AC的平行线交AB于P
∴△BDP为等边三角形，BD=BP
∴AP=CD
∵∠BPD为△ADP的外角
∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°
而∠ADP+∠EDC=180°-∠BDP-∠ADE=60°
∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°
∴∠DAP=∠EDC（ 外角三角形定理得出 ）
在△ADP和△DEC中，
∵ ∠DAP=∠EDCAP=DC∠APD=∠DCE
∴△ADP≌△DEC（全等三角形）
∴AD=DE
∵∠ADE=60°
∴△ADE是等边三角形