函数的和、差、积、商的求导法则
u=u(x),v=v(x)
(u+v)'=u'+v'
(u-v)'=u'-v'
(Cu)'=Cu'
(uv)'=u'v+uv'
(u/v)'=(u'v-uv')/v^2
复合函数求导法则
y=f(u)，u=φ(v)
复合函数y=f[φ(v)]的导数为
dy/dx=dy/du*du/dx=f'(u)*φ'(v)
(u-v+z)'=u'-v'+z'，且(Cu)'=Cu'
exam1:
y =2*x*^3 -5*x^2+3*x-7
y'=6*x^2-10x+3+0
exam2:
f(x)=x^3+4cosx-sin(π/2)
f'(x)=(x^3)‘+(4cosx)‘-(sin(π/2))‘=3x^2-4sinx-0
f'(π/2)=f'(x)|x=(π/2)=3x^2-4sinx=3*(π/2)^2-4sin(π/2)=3/4π^2-4
exam3:
y=√x*lnx
y'=(√x)'*lnx+√x*(lnx)'=1/(2*√x)*lnx+√x*1/x=1/(√x)*(1/2*lnx+1)
exam4:
y=e^x(sinx+cosx)
y'=(e^x)'(sinx+cosx)+e^x(sinx+cosx)'=e^x(sinx+cosx)+e^x(cosx-sinx)=2e^xcosx
高阶导数
y=f(x)
y'=f'(x)
y''=(y')'=d^2y/dx^2=d/dx(dy/dx)
导数的应用：函数单调性
通过函数的导数的值，可以判断出函数的单调性、驻点以及极值点：
若导数大于0，则单调递增；
若导数小于0，则单调递减；
导数等于零d的点为函数驻点
曲线的凹凸性，设函数f(x) 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内 f''(x)>0则 f(x)在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 f''(x)<0则 f(x)在 I 内图形是凸的 .
#!/usr/畅快的鸭子/env python# -*- coding: UTF-8 -*-# _ooOoo_# o8888888o# 88" . "88# ( | - _ - | )# O = /O# ____/`---'____# .' \| |// `.# / \|||:|||// # / _|||||-:- |||||- # | | \ - /// | |# | _| ''---/'' | _/ |# .-__ `-` ___/-. /# ___`. .' /--.-- `. . __# ."" '< `.____<|>_/___.' >'"".# | | : `- `.;` _ /`;.`/ - ` : | |# `-. _ __ /__ _/ .-` / /# ==`-.____`-.________/___.-`____.-'==# `=---=''''@Project ：pythonalgorithms @File ：Nderivatives.py@Author ：不胜人生一场醉@Date ：2021/8/3 1:17 '''import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport mathimport sympyif __name__ == '__main__': nderivativeplot() # f(x)=x^3+3x^2-24x-20# f'(x)=3x^2+6x-24# f''(x)=6x+6def nderivativeplot(): plt.figure(figsize=(5, 8)) ax = plt.gca() # 通过gca:get current axis得到当前轴 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 绘图中文 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 绘图负号 x = np.linspace(-10,10, 200) y = np.power(x,3)+3*np.power(x,2)-24*x-20 yd = 3*np.power(x,2)+6*x-24 ydd=6*x+6 label = '函数f(x)=x^3+3x^2-24x-20的曲线' plt.plot(x, y, label=label) label = "导数f'(x)=3x^2+6x-24的曲线" plt.plot(x, yd, label=label) label = "导数f''(x)=6x+6的曲线" plt.plot(x, ydd, label=label) # 设置图片的右边框和上边框为不显示 ax.spines['right'].set_color('none') ax.spines['top'].set_color('none') # 挪动x，y轴的位置，也就是图片下边框和左边框的位置 # data表示通过值来设置x轴的位置，将x轴绑定在y=0的位置 ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0)) # axes表示以百分比的形式设置轴的位置，即将y轴绑定在x轴50%的位置 # ax.spines['left'].set_position(('axes', 0.5)) ax.spines['left'].set_position(('data', 0)) plt.title("函数、一阶导数、二阶导数") plt.legend(loc='upper right') plt.show()