刚开始学习计算机图形学，觉得很有趣，我的水平不高，代码可供参考。
部分代码 typedef struct{float X;float Y;} PointF; PointF bezier_interpolation_func(float t, PointF *points){//PointF *tmp_points = (PointF *)malloc(point_count * sizeof(PointF));//内存溢出？PointF tmp_points[300];for (int i = 1; i < point_count; ++i){for (int j = 0; j < point_count - i; ++j){if (i == 1){tmp_points[j].X = (float)(points[j].X * (1 - t) + points[j + 1].X * t);tmp_points[j].Y = (float)(points[j].Y * (1 - t) + points[j + 1].Y * t);continue;}tmp_points[j].X = (float)(tmp_points[j].X * (1 - t) + tmp_points[j + 1].X * t);tmp_points[j].Y = (float)(tmp_points[j].Y * (1 - t) + tmp_points[j + 1].Y * t);}}return tmp_points[0];} void Widget::mouseMoveEvent(QMouseEvent *event) { QPoint p1; int x, y; int i; bool if_in; p1 = event->pos(); x = p1.x(); y = p1.y(); if (right_move == true) { now = point_count - 1; point[now].setX(x); point[now].setY(y); if (point_count > 2) { bezier_point.clear(); bezier(point); } update(); } else { if (now == 0) { for (i = 0; i < point_count; i++) { if (x > point[i].x() - 40 && x < point[i].x() + 40 && y > point[i].y() - 40 && y < point[i].y() + 40) { now = i; break; } } } if (con > 0 || x > point[now].x() - 10 && x < point[now].x() + 10 && y > point[now].y() - 10 && y < point[now].y() + 10) { if_in = true; } else { if_in = false; } if (if_in == true) { con = 5; point[now].setX(x); point[now].setY(y); } if (point_count > 2) { bezier_point.clear(); bezier(point); } update(); } } void Widget::mouseReleaseEvent(QMouseEvent *event) { con = 0; now = 0; right_move = false; } void Widget::mousePressEvent(QMouseEvent *event) { if (event->button() == Qt::RightButton) { right_move = true; Pt = event->pos(); point.push_back(Pt); point_count++; if (point_count > 2) { bezier_point.clear(); bezier(point); } update(); } else if (event->button() == Qt::LeftButton) { update(); } else if (event->button() == Qt::MidButton) { if (point_count > 0) { --point_count; point.pop_back(); bezier_point.clear(); bezier(point); update(); } } } 下载（笔者根据原文和链接，进行了强势优化，增加注释，使用qt的api函数绘图，不用重复造轮子）
下载: https://download.csdn.net/download/jiesunliu3215/20705613
动感的贝塞尔曲线
相信很多同学都知道“贝塞尔曲线”这个词，我们在很多地方都能经常看到。但是，可能并不是每位同学都清楚地知道，到底什么是“贝塞尔曲线”，又是什么特点让它有这么高的知名度。
贝塞尔曲线的数学基础是早在 1912 年就广为人知的伯恩斯坦多项式。但直到 1959 年，当时就职于雪铁龙的法国数学家 Paul de Casteljau 才开始对它进行图形化应用的尝试，并提出了一种数值稳定的 de Casteljau 算法。然而贝塞尔曲线的得名，却是由于 1962 年另一位就职于雷诺的法国工程师 Pierre Bézier 的广泛宣传。他使用这种只需要很少的控制点就能够生成复杂平滑曲线的方法，来辅助汽车车体的工业设计。
正是因为控制简便却具有极强的描述能力，贝塞尔曲线在工业设计领域迅速得到了广泛的应用。不仅如此，在计算机图形学领域，尤其是矢量图形学，贝塞尔曲线也占有重要的地位。今天我们最常见的一些矢量绘图软件，如 Flash、Illustrator、CorelDraw 等，无一例外都提供了绘制贝塞尔曲线的功能。甚至像 Photoshop 这样的位图编辑软件，也把贝塞尔曲线作为仅有的矢量绘制工具（钢笔工具）包含其中。
贝塞尔曲线在 web 开发领域同样占有一席之地。CSS3 新增了 transition-timing-function 属性，它的取值就可以设置为一个三次贝塞尔曲线方程。在此之前，也有不少 JavaScript 动画库使用贝塞尔曲线来实现美观逼真的缓动效果。
下面我们就通过例子来了解一下如何用 de Casteljau 算法绘制一条贝塞尔曲线。
在平面内任选 3 个不共线的点，依次用线段连接。
在第一条线段上任选一个点 D。计算该点到线段起点的距离 AD，与该线段总长 AB 的比例。
根据上一步得到的比例，从第二条线段上找出对应的点 E，使得 AD:AB = BE:BC。
连接这两点 DE。
从新的线段 DE 上再次找出相同比例的点 F，使得 DF:DE = AD:AB = BE:BC。
到这里，我们就确定了贝塞尔曲线上的一个点 F。接下来，请稍微回想一下中学所学的极限知识，让选取的点 D 在第一条线段上从起点 A 移动到终点 B，找出所有的贝塞尔曲线上的点 F。所有的点找出来之后，我们也得到了这条贝塞尔曲线。
如果你实在想象不出这个过程，没关系，看动画！
回过头来看这条贝塞尔曲线，为了确定曲线上的一个点，需要进行两轮取点的操作，因此我们称得到的贝塞尔曲线为二次曲线（这样记忆很直观，但曲线的次数其实是由前面提到的伯恩斯坦多项式决定的）。
当控制点个数为 4 时，情况是怎样的？
步骤都是相同的，只不过我们每确定一个贝塞尔曲线上的点，要进行三轮取点操作。如图，AE:AB = BF:BC = CG:CD = EH:EF = FI:FG = HJ:HI，其中点 J 就是最终得到的贝塞尔曲线上的一个点。
这样我们得到的是一条三次贝塞尔曲线。
看过了二次和三次曲线，更高次的贝塞尔曲线大家应该也知道要怎么画了吧。那么比二次曲线更简单的一次（线性）贝塞尔曲线存在吗？长什么样？根据前面的介绍，只要稍作思考，想必你也能猜出来了。哈！就是一条直线
贝塞尔曲线数学公式
一阶贝塞尔曲线(线段)：
意义：由 P0 至 P1 的连续点， 描述的一条线段
二阶贝塞尔曲线(抛物线)
原理：由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。
由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。
由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。
经验：P1-P0为曲线在P0处的切线。
三阶贝塞尔曲线：
通用公式：
4阶曲线：
5阶曲线：
上面介绍的内容并不足以展示贝塞尔曲线的真正威力。推广到三维空间的贝塞尔曲面，以及更进一步的非均匀有理 B 样条（NURBS），早已成为当今计算机辅助设计（CAD）的行业标准，不论是我们平常用到的各种产品，还是在电影院看到的精彩大片，都少不了它们的功劳。
参考链接：
https://mp.weixin.qq.com/s/yFM6iZl-5F-u23nNrgToBQ
基本公式推导链接：
https://blog.csdn.net/cfan927/article/details/104649623/
此文到此结束*************************************************************此文到此结束
附件：对于之后可能用到的对贝塞尔曲线求解一阶导数和二阶导数
所以附上，基本公式，以作笔记使；
cotθ＝1／tanθ secx=1/(cosx) cscx=1/(sinx)
简单来说,一阶导数是自变量的变化率,二阶导数是一阶导数的变化率,也就是一
连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导大于0，则递增，一阶导小
0，则递减，一阶导等于0，则不增不减。
而二阶导数可以反应图像的凹凸。二阶导数大于0，图像为凹，二阶导数小于0，
0，不凸不凹。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0
0，而二阶导数小于0时，为极大值点，当一阶0时，为驻点。
曲线在某点的曲率和导数的关系：
参考链接：https://www.docin.com/p-341333864.html
https://www.zhihu.com/question/50500344/answer/1413729175
其中两个关键转化过程：
y'=dy/dx = ᵩ'(t)/ ᵠ'(t);
y"=d(y')/dx = d(dy/dx) /dx = d( ᵩ'(t)/ ᵠ'(t) ) / ᵠ'(t)
另外：