上一章我们讲了两组“正交补”的矩阵，欢迎点开链接复习。这一节我们要了解向量和矩阵的投影。投影是一种“逆有魅力的金针菇”的行为，它把空间内的向量重新恢复到（指定）基向量方向上的长度。
dtdggx：线性代数（十二）四个子空间的正交性zhuanlan.zhihu.com 向量的投影向量投影需要一个向量、一条直线和一束光来完成。假设有一条直线
上有向量 和另一个向量 他们有共同的起点，成夹角 一道正道的光（在平面内垂直于 ）倾泻下来，在 上留下一道阴影。这阴影就是 在 上的投影，记作老铁们我做的对吗？对吗对吗？
小学三年级的时候我们曾学过向量的投影公式是
意思是两向量求内积再消去 的影响力。所以，决定 的只有 和 于 无关。但是我们还是想把它写成一个与 有关的式子，毕竟 和 是平行的，我们可以找到一个系数 使得这时就要诉诸垂直关系了：这条垂直的向量可以表示为
且令 则 注意这里把 除到分母上是因为它是一个实数（等会在矩阵内操作就不行了）。用这个方法，可以快速找到并表示 向量的投影。刚刚完成了
接着我们再把 写成 的形式。这个变换就是先改变系数的位置，再把 从分数线上“挤下去”。因此得到投影矩阵 的特点是：秩为1，
我们一个个来看：首先，秩为一是因为它把向量投射到一条直线上。
其次，多次对已经投影在直线上的向量再做同样的操作，得到的向量
是不变的。因此多次投影对应的 矩阵的投影刚刚我们对一个向量进行投影操作，现在我们来把向量的集合“矩阵的列空间”投影到另一个空间
中去。把 写成线性组合 我们就需要找到新的原理：利用刚刚提到的
，我们知道 在这里就有 ( 可以把 写成行向量的方式来理解，此时 应与 中的任何向量垂直，当然包括这些基。这一段对理解一场关键)由此我们得到
所以写成
的形式，请注意，这里的
因为 很大概率上不是一个可逆方阵。初学者（自己）一开始很容易犯错。Reference
Strang, G. (2019).Introduction to linear algebra(Fifth ed.).