定义1
给定一个数列 ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中 称为数项级数（1）的通项或一般项。
数项级数（1）也常写作 或简单写作 .
数项级数（1）的前n项之和，记为 称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和。
定义2
若数项级数（1）的部分和数列 收敛于S（即 ）,则称数项级数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记作 或 .
若 是发散数列，则称数项级数（1）发散。
定理1（级数收敛的柯西准则）
级数（1）收敛的充要条件是： 当m>N以及对任意的正整数p，都有
级数（1）发散的充要条件是： 有
推论：若级数（1）收敛，则
（逆命题不成立；但逆否命题成立，即若 则级数（1）发散）
定理2
如级数 与 都收敛，则对任意常数c,d，级数 亦收敛，且
补充：若 非负，则 发散。
若 发散， 不一定发散。
定理3
去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。
由此定理知道，若级数 收敛，其和为S，则级数 也收敛，且其和 式称为级数 的第n个余项（或简称余项），它表示以部分和 代替S时所产生的误差。
定理4
在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。（逆否命题成立，即若加了括号的级数发散，则原级数发散）
注意：从级数加括号后的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛。例如（1-1）+（1-1）+...+（1-1）+...=0+0+0+...=0收敛，但级数1-1+1-1+...却是发散的。
典题：
1.等比级数（也称为几何级数）
当 时，等比级数收敛；当 时，等比级数发散。
2.调和级数1+1/2+1/3+...+1/n+... 是发散的。
3.级数 收敛。