图像缩放之后相机内参变化
1. 问题描述
在对采集到的图像进行3D坐标相关计算时，需要用到相机内参信息，但是在对图像进行缩放之后相机内参如何变化呢?
在大多数书上只会给出结论(假设缩小一半):
[f_x'= frac{f_x}{2},f_y'=frac{f_y}{2},c_x'=frac{c_x}{2},c_y'=frac{c_y}{2}
]
2. 数学推导
以下函数把3D空间点 (P) 投影到像素坐标系中: $$(x,y,z,1)rightarrow(u,v,S)$$
[begin{pmatrix}
a_x & 0 & u_0 \
0 & a_y & v_0 \
0 & 0 & 1
end{pmatrix}
begin{pmatrix}
R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \
R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \
R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \
end{pmatrix}
begin{pmatrix}
x \
y \
z \
1
end{pmatrix}
]
之后，$$(u,v,S)rightarrow(u/S,v/S,1)$$得到非齐次的像素坐标.
可以简写为:
[u= frac{m_1 P}{m_3 P} \
v = frac{m_2 P}{m_3 P}
]
其中(m_i)为(K[R|T]_{3times4})构成的投影矩阵的第(i)行,在进行resize之后:
[u'=frac{u}{2} \
v' = frac{v}{2}
]
因此:
[u' = (1/2) frac {m_1 P} {m_3 P} \
v' = (1/2) frac {m_2 P} {m_3 P}
]
转换回最初的投影方程:
[left( begin{array}{ccc}
0.5 & 0 & 0 \
0 & 0.5 & 0 \
0 & 0 & 1 end{array} right)
left( begin{array}{ccc}
a_x & 0 & u_0 \
0 & a_y & v_0 \
0 & 0 & 1 end{array} right)
left( begin{array}{ccc}
R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \
R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \
R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \
end{array} right)
left( begin{array}{ccc}
x \
y \
z \
1
end{array} right)
]
与如下形式等价:
[left( begin{array}{ccc}
0.5 a_x & 0 & 0.5 u_0 \
0 & 0.5 a_y & 0.5 v_0 \
0 & 0 & 1 end{array} right)
left( begin{array}{ccc}
R_{11} & R_{12} & R_{13} & T_x \
R_{21} & R_{22} & R_{23} & T_y \
R_{31} & R_{32} & R_{33} & T_z \
end{array} right)
left( begin{array}{ccc}
x \
y \
z \
1
end{array} right)
]
如果使用的是Matlab类似的索引由1开始的，需要利用: (u'=(u-1)/2+1,v'=(v-1)/2+1)替换，并重新推导
3. 对于0.5pixel问题的处理
同样需要进行处理:
[u'=(u-0.5)s+0.5\
v'=(v-0.5)s+0.5
]
于是可以得到(假设缩放为(s)):
[begin{pmatrix}
sf_x & 0 & sc_x+0.5s-0.5 \
0 & sf_y & sc_y+0.5s-0.5 \
0 & 0 & 1
end{pmatrix}
]
于是，对应的内参变化为:
[begin{aligned}
f_x' &= s*f_x\
f_y' &= s*f_y\
c_x' &= s*c_x+0.5s-0.5\
c_y' &= s*c_y +0.5s-0.5
end{aligned}
]
4. 参考资料