今天早上同学问了我有关伽马函数和$n$维空间的球体积之间的关系，我记得我以前想要研究，但是并没有落实。既然她提问了，那么就完成这未完成的计划吧。
标准思路#
简单来说，$n$维球体积就是如下$n$重积分
$$V_n(r)=int_{x_1^2+x_2^2+dots+x_n^2leq r^2}dx_1 dx_2dots dx_n$$
用更加几何的思路，我们通过一组平行面($n-1$维的平行面)分割，使得$n$维球分解为一系列近似小柱体，因此，可以得到递推公式
$$V_n (r)=int_{-r}^r V_{n-1} left(sqrt{r^2-t^2}right)dt$$
设$t=rsintheta_1$，就有
$$V_n (r)=rint_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} V_{n-1} left(rcostheta_1right)costheta_1 dtheta_1$$
迭代一次就有
$$V_n (r)=r^2int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} V_{n-2} left(rcostheta_1costheta_2right)costheta_1cos^2theta_2 dtheta_1 dtheta_2$$
迭代$n-1$次
$$begin{aligned}V_n (r)=&r^{n-1}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}dotsint_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} V_1left(rcostheta_1costheta_2dots costheta_{n-1}right)times\
&costheta_1cos^2theta_2dotscos^{n-1}theta_{n-1} dtheta_1 dtheta_2dots dtheta_{n-1}end{aligned}$$
其中$V_1 (r)=2r$，即两倍半径长的线段。从而
$$V_n (r)=2r^{n}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}dotsint_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} cos^2theta_1cos^3theta_2dotscos^{n}theta_{n-1} dtheta_1 dtheta_2dots dtheta_{n-1}$$
完成这个积分，最终就得到$n$维球体积的公式，这个积分自然是可以求出来的(只是$n-1$个一维积分的乘积)。但是这样的步骤太不容易了，为了将其跟伽马函数联系起来，还要做很多工作。总的来说，这是一个不容易记忆、也不怎么漂亮的标准方法。
绝妙思路#
有一个利用拉长的鞋子积分的绝妙技巧，能够帮助我们直接将球体积跟伽马函数联系起来，整个过程堪称鬼斧神工，而且给人“仅此一家，别无分号”的感觉。据说这个技巧为物理系学生所知晓，我是从百读文库看到的，原始来源则是《热力学与统计力学》cdbd(德)，例5.2 理想气体的熵的统计计算。
这一绝妙的思路，始于我们用两种不同的思路计算拉长的鞋子积分
$$G(n)=int_{-infty}^{+infty}dotsint_{-infty}^{+infty}int_{-infty}^{+infty} expleft(-x_1^2-x_2^2-dots-x_n^2right)dx_1 dx_2 dots dx_ntag{1}$$
一方面，将$(1)$当作$n$次累次积分，因为我们已经算得(可以参考这里)
$$int_{-infty}^{+infty}exp(-t^2)dt=sqrt{pi}$$
而$(1)$只不过是这样的$n$个积分的乘积，因此
$$G(n)=pi^{n/2}tag{2}$$
另一方面，将$(1)$当作$n$重积分，由于积分变量只是跟径向长度$r=sqrt{x_1^2+x_2^2+dots+x_n^2}$有关的变量，因此很容易联想到球坐标，在$n$维空间中，可以称为“超球坐标”，不需要将超球坐标完整写出来，只需要注意到，球内的积分，可以化为先对“球壳”进行积分，然后再对球半径进行积分。
$$G(n)=int_{0}^{+infty}drint_{S_n(r)}expleft(-r^2right)dS_ntag{3}$$
这里的$S_n(r)$是半径为$r$的$n$维球体表面(以及表面积，在不至于混淆的情况下，这里不作区分)。但是注意到，被积函数只跟$r$有关，因此对球表面进行积分，等价于原函数乘以球的表面积而已，因此$(2)$式的结果为
$$G(n)=int_{0}^{+infty}drexpleft(-r^2right)S_n(r)tag{4}$$
虽然我们不知道$n$维球的体积和表面积公式，但是我们可以肯定，$n$维球的体积一定正比于$r^n$，即有
$$V_n (r)=V_n(1)r^n$$
球的表面积，就是球体积的一阶导数(考虑球壳分割)，那么
$$S_n (r)=n V_n(1)r^{n-1}$$
代入$(4)$，得到
$$begin{aligned}G(n)=&n V_n(1)int_{0}^{+infty}r^{n-1}expleft(-r^2right)dr\
=&frac{1}{2}n V_n(1)int_{0}^{+infty}(r^2)^{n/2-1}expleft(-r^2right)d(r^2)\
=&frac{1}{2}n V_n(1)int_{0}^{+infty}z^{n/2-1}expleft(-zright)dzquadleft(z=r^2right)\
=&frac{1}{2}n V_n(1)Gammaleft(frac{n}{2}right)end{aligned}tag{5}$$
结合$(2)$得
$$pi^{n/2}=G(n)=frac{1}{2}n V_n(1)Gammaleft(frac{n}{2}right)$$
从而
$$V_n(1)=frac{pi^{n/2}}{frac{1}{2}nGammaleft(frac{n}{2}right)}=frac{pi^{n/2}}{Gammaleft(frac{n}{2}+1right)}$$
最后
$$V_n(r)=frac{pi^{n/2}}{Gammaleft(frac{n}{2}+1right)}r^n$$
就这样得到了$n$维球体积公式！！对$r$求导得到$n$维球表面积公式
$$S_n(r)=frac{2pi^{n/2}}{Gammaleft(frac{n}{2}right)}r^{n-1}$$
结合前后两个方法，就得到
$$frac{pi^{n/2}}{Gammaleft(frac{n}{2}+1right)}=2int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}dotsint_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}} cos^2theta_1cos^3theta_2dotscos^{n}theta_{n-1} dtheta_1 dtheta_2dots dtheta_{n-1}$$
简单评述#
该技巧相当漂亮、简洁，其中拉长的鞋子积分、球坐标变换这些都是物理系学生很熟悉的，只需简单峰回路转，就把结果给算了出来，这俨然就是只有物理系学生才能想出来的绝妙思路！
更妙的是，我们发现这一思路如此奇妙，以至于我们想用它来做更多的事情，但是稍微研究之后就会得到结论：不能再做什么了！也就是说，整个过程似乎就只为计算$n$维球体积而订制的！真的是“只此一家，别无分号”！妙哉~~
更详细的转载事宜请参考：《科学空间FAQ》
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ajdyx. (2014, Dec 23). 《鬼斧神工：求n维球的体积 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/3154